Explicación de la integral de formas diferenciales

Question

En nuestro curso de geometría diferencial definimos la integral $\int_{U} \omega$ de una forma diferencial $\omega=f dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n: T^nU \rightarrow \mathbb R$ con $U\subseteq \mathbb R^n$ , $U$ soporte abierto y compacto $\operatorname{supp}(\omega)$ a través de $$\int_U \omega := \underbrace{\int_U f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots dx_n}_\text{Riemann integral}$$

Esta es la misma definición que utilizó Manfredo do Carmo en su libro "Differential Forms and Applications" [capítulo 4.1, página 55].

Lamentablemente, no se ha motivado esta definición en nuestro curso. A mí, como estudiante, me pareció que nuestro profesor estableció $\int_U f dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n$ para ser $\int_U f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots dx_n$ porque ambas nociones son similares. Pero el razonamiento debe ser a la inversa: como ambos conceptos de integración conducen al mismo resultado, las notaciones son similares.

Entonces, ¿por qué tiene sentido la definición anterior? ¿Hay algún tipo de idea intuitiva detrás de la integral de $\omega$ de lo que se desprende que es la integral de Riemann habitual? ¿Cuál es el concepto/idea detrás de la integración de formas diferenciales? (Por ejemplo puedo pensar en la integral de Riemann como el límite del área bajo funciones escalonadas)

Answer 1

Aquí hay un par de cosas confusas.

En primer lugar, los covectores de base suelen denotarse como $\mathrm dx^i$ que es visualmente similar a $dx^i$ (Los escribo así, de manera diferente, para enfatizar que son nociones diferentes; no me sorprendería ver $dx^i$ como covector de base tampoco), por lo que la relación entre un covector de base y un diferencial parece clara, incluso obvia.

Y, sin embargo, estas cosas ni siquiera se parecen.

Cuando se integra un $k$ -covector, ¿qué estás haciendo realmente? Estás integrando en algún (normalmente) $k$ -de las dimensiones. Si $e_1, e_2, \ldots$ son los vectores base de esta colector*, entonces un parche infinitesimal de esta colector se describe utilizando un $k$ -vector $dV = (e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_k) dx^1 dx^2 \ldots dx^k$ .

¿Qué es lo que $k$ -¿covectores? Bueno, normalmente nos dicen que comen $k$ vectores en total para dar un escalar (o un campo escalar, si de hecho tenemos un $k$ -campo covectorial). Alternativamente, se puede ver que comen un solo $k$ -vector.

Así que lo que realmente estás haciendo cuando integras un $k$ -covector es esto:

$$\int_U \omega \equiv \int_U \omega(e_1 \wedge e_2 \wedge \ldots \wedge e_k) \, dx^1 dx^2 \ldots dx^k$$

Por alguna razón, la gente rara vez hablar de la existencia de $k$ -vectores. Saber que existen es realmente importante. Convierte el tensor de Riemann en un mapa de $2$ -vectores a $2$ -vectores, por ejemplo. De todos modos, el objeto $\omega(e_1 \wedge \ldots \wedge e_k)$ es una función escalar y, como tal, ahora es claramente una integral riemanniana clásica.

*No denota que estos vectores base dependan del punto del colector en el que se toman, pero sí tienen esta dependencia.

Answer 2

Una vez oí que se presentaban las formas diferenciales en una clase como "lo que queremos integrar". Mira la fórmula de cambio de variables para la integración en $\mathbb{R}^n$ (la fórmula jacobiana) y verás que se comporta como las formas diferenciales. La impresión que uno tiene es que las formas diferenciales se crearon para simplificar la integración. Creo que la motivación es clara si se observan las propiedades que definen una forma diferencial como hecha a medida para ser utilizada en la integración. Estoy de acuerdo en que la motivación es opaca si se piensa en las formas por sí mismas y luego se pregunta por qué su integral se define de esa manera. También, por supuesto, una vez que se define un objeto matemático, los matemáticos explorarán sus propiedades independientemente de la razón que lleva a su creación. Los números complejos se crearon para expresar soluciones de ecuaciones polinómicas, pero obviamente su uso ha ido más allá, con las formas es la misma historia.