El espacio tangente de un espacio vectorial.

Question

Estoy tratando de mostrar que hay un isomorfismo canónico entre un finito-dimensional espacio vectorial $V$ (considerada como una $C^\infty$ colector) y su espacio de la tangente $T_vV, v\in V$, sin necesidad de utilizar una base, en el siguiente sentido: lo que respecta $\omega\in V^*$ como una función lineal $\tilde\omega:V\to\mathbb{R}$. Para cada una de las $v\in V$ existe precisamente un isomorfismo $\phi_v:T_vV\to V$ tal que $\omega(\phi_vw)=\mathrm{d}\tilde\omega(w)$ todos los $w\in T_vV,\omega\in V^*$.

No sé cómo mostrar la existencia de $\phi_v$. La linealidad de la $\phi_v$ sigue a partir de la linealidad de la $\mathrm{d}\tilde\omega$$T_vV$. No sé cómo probar la inyectividad. Lo que sé es que debemos examinar el núcleo de $\phi_v$, entonces el vacío (además de cero) de $\ker\phi_v$ es equivalente a la existencia de una $\omega\in V^*$ tal que $\mathrm{d}\tilde\omega(w)\ne0$ todos los $w\in T_vV$. Luego surjectivity sigue a partir de la clasificación de nulidad.

Pensamientos acerca de la existencia: Vamos a $c:(-\epsilon,\epsilon)\to V$ ser una curva suave con $c(0)=v, c'(0)=w$. A continuación, $$\mathrm{d}\tilde\omega(w)=w(\tilde\omega)=c'(0)\tilde\omega=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_0\tilde\omega(c(t))$$ Ahora, Taylor ampliar (no sé si se puede hacer esto) $c(t)$$t$. Después de que el polvo se asienta, uno ha $\mathrm{d}\tilde\omega(w)=\omega(c_1)$ donde $c_1$ es el primer Taylor coeficiente de $c$. Quizás $\phi_v:w\mapsto c_1$? Si uno siempre puede tener $c$ a ser lineal, es decir,$c(t)=v+xt$,$x=\phi_vw$. Pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Aquí es una manera alternativa de escribir un isomorfismo $V \mapsto T_v V$, que no impliquen $V^*$, en lugar de sólo tomar derivados de mapas asociados a la estructura de espacio vectorial en $V$.

En primer lugar, construir el isomorfismo $\psi : V \to T_0 V$ donde $\psi(v)$ es la derivada en $t=0$ de la función de $t \mapsto tv$. Un poco de trabajo es necesaria para demostrar que este es un lineal mapa de espacios vectoriales y es un isomorfismo (y aquí, tal vez, los vectores duales va a simplificar la prueba).

Próxima construcción de la isomorfismo $\chi : T_0 V \to T_v V$ que es la derivada en $0$ de la función de $w \mapsto w+v$. Obviamente este es un espacio vectorial isomorfismo, ya que la función $w \mapsto w+v$ es un diffeomorphism.

Finalmente, el isomorfismo que quieres es $$\chi \circ \psi : V \a T_v V$$ Más directamente, $\chi \circ \psi(v)$ es simplemente la derivada en $t=0$ de la función de $t \mapsto w + tv$.