¿Cuáles son las reglas para la manipulación factorial?

Question

Sé que

$$(k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)! = (k+2)! - 1$$

gracias a wolframalpha, pero no entiendo los pasos para la simplificación, y no encuentro ninguna regla sobre manipulaciones factoriales en google. ¿Puede alguien explicar esto por favor?

Answer 1

Ignora el $-1$ ya que se producen en ambos lados. Entonces tienes:

$$(k+2)! = (k+2)(k+1)! = (1+(k+1))(k+1)! = (k+1)! + (k+1)(k+1)!$$

Básicamente, es la ley distributiva.

Answer 2

Suponiendo que nos den sólo la tarea:

Simplifica lo siguiente: $\quad (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!$

Dejemos que $\color{blue}{\bf x = k+1}$ . Entonces tenemos $$\begin{align} x! - 1 + x(x!) & = x\;(x!) + 1\cdot x! -1 \\ \\ & = (x + 1)\;x! - 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\tag{distributive property over addition} \\ \\ & = (\color{blue}{\bf x} + 1)! - 1 \\ \\ & = (\color{blue}{\bf k+1} + 1)! - 1 \\ \\ & = (k+2)! - 1 \end{align}$$

Answer 3

Reúne los dos términos que tienen un factor de $(k+1)!$ :

$$\begin{align*} (k+1)!-1+(k+1)(k+1)!&=\Big(1+(k+1)\Big)(k+1)!-1\\ &=(k+2)(k+1)!-1\\ &=(k+2)!-1\;. \end{align*}$$

Answer 4

Bueno, agrupa términos similares. $(k+1)! + (k+1)(k+1)! = (k+2) (k+1)! = (k+2)!$ .