Probar la ecuación sin resolver para X

Question

Mi sobrina me preguntó esto: si$x=1/(5-x)$ prueba$x^3 + \dfrac{1}{x^3}=110$ sin resolver por x. Dije que no es posible ya que resolver x por sí mismo me da dos raíces por x (una es$\approx4.79$) y sustituirlo en la segunda ecuación me da 110. Así que no es posible probar algebraicamente sin ninguna suposición. Es esto correcto ?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Explota simetría innata. Para$\rm\:y = x^{-1}\:$ usted conoce$\rm\:xy = 1\:$ y recibe$\rm\:x+y = 5\:$, así que

PS

PS

$$\rm x^2 + y^2\ =\ (x+y)\ (\:x\ +\ y)\ -\ xy\ (1 + 1)\ =\ 5\:\cdot\: 5 - 1\cdot 2\: =\: 23$ $ Arriba es un caso especial de las identidades de Newton para expresar sumas de poder en términos de polinomios sumétricos elementales.

Answer 2

Se le da$x = 1/(5-x)$, es decir,$x$ es una raíz del polinomio$x^2-5x+1$. Entonces también es una raíz de$$(x^2-5x+1)(x^4+5x^3+24x^2+5x+1) = x^6-110x^3+1,$ $ así que$x^3+1/x^3 = 110$ (desde$x \neq 0$).

Answer 3

De tu ecuación obtienes$5x-x^2=1$, así que$5=\frac{x^2+1}{x}$. Ahora recuerde a la siguiente fórmula cúbica$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$, luego $$ 5 ^ 3 = \ left (\ frac {x ^ 2 +1} {x} \ right) ^ 3 = \ left (x + x ^ {- 1 } \ derecha) ^ 3 = x ^ 3 + x ^ {- 3} +3xx ^ {- 1} (x + x ^ {- 1}) = $$ $$ x ^ 3 + x ^ {- 3} +3 \ frac {x ^ 2 +1} {x} = x ^ 3 + x ^ {- 3} +15. $$ Así que obtienes $$ x ^ 3 + x ^ {- 3} = 125-15 = 110 $$

Answer 4

$x=\frac 1 {(5-x)}$

asi que $x^3 + \frac 1 {x^3} = x^3 + (5-x)^3$

= (término cúbico cancela)$125 - 75x +15x^2$

=$125 -15x(5-x) = 125-15 = 110$