¿Cómo probar la compacidad de los conjuntos de matriz convexa?

Question

Estoy leyendo un documento - "el Krein Milman teorema de Operador de Convexidad"; y la tercera sección de ofertas con el compacto de la matriz de conjuntos convexos. El primer ejemplo hay estados que la matriz del intervalo de $[a\mathbb{I},b\mathbb{I}]$ es un compacto de la matriz de conjunto convexo en $\mathbb{C}$, el complejo espacio. Pero probando esta en concreto me preocupa. Por ejemplo, ¿cómo puedo demostrar que $[aI_2, bI_2]$ es compacto en $\mathbb{M}_2(\mathbb{C})$? Será suficiente sólo para proporcionar una sugerencia o una referencia a un teorema.

El enlace al artículo es http://www.jstor.org/stable/10.2307/117899

Answer 1

Por compacidad: topológicamente, se puede ver $M_2(\mathbb{C})$$\mathbb{C}^4$. Esto significa que la convergencia en el operador de la norma en $M_2(\mathbb{C})$ es simplemente la convergencia en las coordenadas, y eso implica que Heine-Borel tiene; todo lo que tiene para mostrar es closedness. Si usted tiene una secuencia de Cauchy en $[a\mathbb{I},b\mathbb{I}]$, un límite de la matriz va a existir, porque en cada entrada tendrá una secuencia de Cauchy de números complejos. Por otra parte, dado que el polinomio característico de las entradas dependen continuamente en las entradas de la matriz, el polinomio característico del límite de límite de los polinomios característicos de la secuencia, lo que muestra que el límite será de nuevo en $[a\mathbb{I},b\mathbb{I}]$. El intervalo es compacto.

Convexidad: el intervalo de $[a\mathbb{I},b\mathbb{I}]$ puede ser caracterizado como de los hermitian matrices $A$ tal que $$ un\,x^Tx\leq x^Impuestos\leq b\,x^Tx,\ \ x\in\mathbb{C}^2. $$ Por lo tanto, si $A,B\in[a\mathbb{I},b\mathbb{I}]$, $\gamma\in[0,1]$, $$ un\,x^Tx=\gamma\,\, x^Tx+(1-\gamma)\, x^Tx\leq\gamma\,x^Impuestos+(1-\gamma)x^TBx=x^T(\gamma+(1-\gamma)B)x ; $$ del mismo modo, obtenemos $$ x^T(\gamma+(1-\gamma)B)x \leq b\,x^Tx. $$