Mostrando la independencia del cociente y la suma de las variables aleatorias de Chi cuadrado

Question

Deje $X_i$ denotar $\chi_{r_i}^2$ i.yo.d variables aleatorias, donde $r_i$ es un (posiblemente distinta) entero positivo para cada una de las $i$. Quiero verificar que $Y_1 = \frac{X_1}{X_2}$ $Y_2 = X_1 + X_2$ son independientes.

Sé que hay varias maneras de mostrar este - una forma sería la de tratar de calcular la articulación pdf de $Y_1$ $Y_2$ y marginar a uno y demostrar que es el producto de dos de ellos -, pero estoy teniendo problemas para escribir la articulación pdf. Otra opción sería la de mostrar que las probabilidades condicionales son iguales a las probabilidades individuales. Pero esto también requiere que el pdf y aunque sé que $Y_2$ es un chi-cuadrado de la variable aleatoria, parece que sería complicado que hacerlo de esta manera.

Hay una forma más elegante para mostrar esto?

Answer 1

Deje que$X_1 = \xi_1^2 + \dots + \xi_n^2$,$X_2 = \xi_{n+1}^2 + \dots + \xi_{n+m}^2$, donde$\xi_i$,$i=1,\dots,n+m$, sean variables gaussianas estándar independientes. Como la distribución de$(\xi_1,\dots,\xi_{n+m})$ es radialmente simétrica, entonces, dado$X_1 + X_2 = \xi_1^2 + \dots + \xi_{n+m}^2 = R$, la proporción$$\frac{X_1}{X_2} = \frac{X_1/R}{X_2/R}$$ has the same distribution as $$\frac{S_1^2 +\dots + S_n^2}{S_{n+1}^2 +\dots + S_{n+m}^2}, $ $ donde el vector$(S_1,\dots,S_{n+m})$ es uniforme Distribuido en una esfera unitaria en$\mathbb{R}^{n+m}$. Entonces esta distribución es independiente de$R$, qed.