Posible dualidad proyectiva entre dos fórmulas determinantes para el área del triángulo

Question

El cordón de la fórmula para el área de un polígono en términos de vértices consecutivos es bien conocido. En el caso particular de un triángulo, esto puede ser escrito utilizando un 3-por-3 determinante como

$$\text{area of triangle}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}$$ donde $(x_k,y_k)_{k=1,2,3}$ son los tres vértices. Varias pruebas han aparecido en este sitio ya.

Lo que puede sorprender es que hay otro determinantal fórmula para el área en términos de las tres líneas. Específicamente, un triángulo con líneas de $a_k x+b_k y+c_k=0$ $k=1,2,3$ satisface

$$\text{area of triangle}=\frac{1}{2C_1C_2C_3}\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{vmatrix}^2$$ where $C_1,C_2,C_3$ son los cofactores de la tercera columna. (Una vieja pregunta tiene múltiples pruebas.)

Los paralelismos entre estas fórmulas me intriga: expresar el área de un triángulo en términos de un factor determinante, pero en términos de puntos y la otra en términos de líneas. Esto es una reminiscencia de la dualidad de líneas y puntos en la geometría proyectiva. De ahí mi pregunta: ¿Pueden estas dos fórmulas, de hecho, ser comprendido a través de proyectiva de la dualidad?

Answer 1

Creo que la conexión entre estas dos fórmulas es solo una consecuencia de la regla de Cramer.

Deje$A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}$ y$B=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.

Supongamos que$a_jx_i+b_jy_i+c_j=0$, siempre que$i\neq j$, y$d_i=a_ix_i+b_iy_i+c_i$. Como este es un triángulo, entonces$d_i\neq 0$, por cada$i$.

Por lo tanto,$AB=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3\end{pmatrix}$ y$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{x_1}{d_1} & \frac{x_2}{d_2} & \frac{x_3}{d_3} \\ \frac{y_1}{d_1} & \frac{y_2}{d_2} & \frac{y_3}{d_3} \\ \frac{1}{d_1} & \frac{1}{d_2} & \frac{1}{d_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$.

Por la regla de Cramer,$\frac{1}{\det(A)}\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 1 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{d_1}$,$\frac{1}{\det(A)}\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 1 \\ a_3 & b_3 & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{d_2}$,$\frac{1}{\det(A)}\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & 1\end{vmatrix}=\frac{1}{d_3}$.

Asi que $\det(AB)=d_1d_2d_3=\dfrac{\det(A)^3}{C_1C_2C_3}$. Por lo tanto,$\det(B)=\dfrac{\det(A)^2}{C_1C_2C_3}$.