Derivando el teorema de Bloch

Question

Esta es una pregunta acerca de la 'Segunda Prueba del Teorema de Bloch", que puede encontrarse en el capítulo 8 de la Física del Estado Sólido por Ashcroft y Mermin. Alternativamente, una similar (dimensiones) de la versión de prueba se puede encontrar en http://ph.qmul.ac.uk/~anthony/spfm/21.html

La ecuación de Schrödinger está dada por $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\mathbf{\nabla}^2+U(\mathbf{r})\right]\psi=\epsilon\psi$$ We write the periodic potential as the Fourier series $$U(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{K}}U_{\mathbf{K}}e^{i\mathbf{K}.\mathbf{r}}$$ where $\mathbf{K}$ is a reciprocal lattice vector, whilst the eigenfunctions may be written as the plane wave expansion $$\psi(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{q}}c_{\mathbf{q}}e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$$ Substitution yields the condition on the coefficients $$\left(\frac{\hbar^2}{2m}q^2-\epsilon\right)c_{\mathbf{q}}+\sum_{\mathbf{K'}}U_{\mathbf{K'}}c_{\mathbf{q}-\mathbf{K'}}=0$$ Esto parejas wavevectors que difieren sólo por un vector de la red recíproca. Mi pregunta es ¿por qué hace esto implica que $c_{\mathbf{q}}=0$ si $\mathbf{q}=\mathbf{k},\mathbf{k}+\mathbf{K},...$ ($\mathbf{k}$ en la primera zona de Brillouin), de modo que las funciones propias son dadas por $$\psi_{\mathbf{k}}=\sum_{\mathbf{K}}c_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{K})\cdot\mathbf{r}}$$ I see no reason to suggest that the eigenfunctions aren't given by $$\psi(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{k}}\sum_{\mathbf{K}}c_{\mathbf{k}-\mathbf{K}}e^{i(\mathbf{k}-\mathbf{K})\cdot\mathbf{r}}$$ pero esto no parece explicados en detalle en cualquiera de las fuentes mencionadas. Gracias!

Answer 1

La sustitución de los rendimientos de la condición en los coeficientes $$\left(\frac{\hbar^2}{2m}q^2-\epsilon\right)c_{\mathbf{q}}+\sum_{\mathbf{K'}}U_{\mathbf{K'}}c_{\mathbf{q}-\mathbf{K'}}=0$$

Para entender la condición en la $\mathbf{q}$'s, tienes que hacer un paso atrás en la derivación de la ecuación.

Asumir

$$\psi(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{q}}c_{\mathbf{q}}e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}},$$

con la $\mathbf{q}$'s arbitrariamente elegido. La sustitución de este ansatz en la ecuación de Schrödinger y la reorganización de los términos de los rendimientos

$$\sum_{\mathbf{q}}\left(\frac{\hbar^2}{2m}q^2-\epsilon\right)c_{\mathbf{q}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}+\sum_{\mathbf{q},\mathbf{K'}}U_{\mathbf{K'}}c_{\mathbf{q}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{q}+\mathbf{K'})\cdot\mathbf{r}}=0.$$

Si los conjuntos de $\{\mathbf{q}\}$ $\{\mathbf{q}+\mathbf{K'}\}$ no coinciden, las funciones exponenciales en los dos términos en el lado izquierdo de la ecuación anterior son linealmente independientes, y la única manera en la que la ecuación puede ser satisfecho es tener $c_\mathbf{q}=0$, $\psi(\mathbf{r}) = 0$.

Si, por el contrario, los conjuntos de $\{\mathbf{q}\}$ $\{\mathbf{q}+\mathbf{K'}\}$ son iguales, es decir, $\{\mathbf{q}\}$ es invariante por traslaciones de vectores de la red recíproca, usted puede etiquetar $\mathbf{q}+\mathbf{K'}$ $\mathbf{q}$ y volver a escribir el segundo término como

$$\sum_{\mathbf{q},\mathbf{K'}}U_{\mathbf{K'}}c_{\mathbf{q}-\mathbf{K'}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}},$$

y, a continuación, recoger la exponencial $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$ entre los dos términos para obtener

$$\sum_{\mathbf{q}}\left[\left(\frac{\hbar^2}{2m}q^2-\epsilon\right)c_{\mathbf{q}}+\sum_{\mathbf{K'}}U_{\mathbf{K'}}c_{\mathbf{q}-\mathbf{K'}}\right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}=0.$$

La ecuación anterior tiene si y sólo si los coeficientes de las exponenciales $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$ son cero, y esto produce las condiciones requeridas en los coeficientes.