¿Convergencia o divergencia? : $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan{n}}{2^{n}}$

Question

Determina si esta serie converge o diverge, y si converge, encuentra su valor.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan{n}}{2^{n}}$$

Esto fue demasiado duro para mí, ya que la falta de límites de $\tan{x}$ en un número infinito de polos hacen más difícil adivinar el comportamiento del valor de la función tangente en números enteros positivos.

Gracias.

Answer 1

La clave, como señala tetori en un comentario, es que $\pi$ es conocido por tener un medida de irracionalidad Esto nos permite afirmar que hay una constante $\theta$ tal que sólo hay un número finito de $n$ con $|\pi-\dfrac{m}{n}|\lt \dfrac{1}{n^\theta}$ o en otras palabras $|n\pi-m|\lt n^{1-\theta}$ sólo con una frecuencia finita. (Para concretar, podríamos tomar $\theta=8$ .) Desde $\tan(\frac\pi2+\epsilon)=\dfrac{1+\cos(\pi+2\epsilon)}{sin(\pi+2\epsilon)}=\dfrac{\cos(2\epsilon)-1}{\sin(2\epsilon)}$ podemos acotar la función tangente cerca de un polo desde arriba en valor absoluto mediante $\dfrac{2}{\epsilon-\frac{\epsilon^3}{6}} = \epsilon^{-1}\left(\dfrac{2}{1-\frac{\epsilon^2}{6}}\right) = 2\epsilon^{-1}+\dfrac{\epsilon}{3}+\ldots$ - esencialmente, por $C\epsilon^{-1}$ . Ahora bien, si $n$ está "cerca" de un polo de la función tangente, entonces eso significa que $n-(m+\frac12)\pi$ es pequeño; o en otras palabras, que $2n-(2m+1)\pi$ es pequeño. Pero sabemos por el resultado antes mencionado que esta cantidad sólo puede ser menor que $(2m+1)^{1-\theta}\approx \left(\frac2\pi n\right)^{1-\theta}=\left(\frac2\pi\right)^{1-\theta}n^{1-\theta}$ con frecuencia finita. Si juntamos esto con las estimaciones de $\tan(\frac\pi2+\epsilon)$ obtenemos que hay constantes $C$ y $\theta$ tal que $|\tan(n)|\gt Cn^{\theta-1}$ sólo con una frecuencia finita. Desechando estas excepciones (ya que no afectan a la convergencia), obtenemos finalmente que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{|\tan n|}{2^n}\leq K+L\cdot \sum_{n=1}^\infty\frac{n^\phi}{2^n}$ para algunas constantes $K, L, \phi$ y como esta última serie es convergente, entonces también lo es $\displaystyle\sum\frac{\tan n}{2^n}$ (y de hecho, es absolutamente convergente).