¿La martingala local es martingala localmente integrable de manera uniforme?

Question

¿Es una martingala local localmente uniformemente integrable?

Aquí defino que una martingala local es el proceso con una secuencia de localización$\tau_n$ tal que el proceso detenido es martingala.

Pero, ¿cómo podemos encontrar una secuencia de localización tal que el proceso detenido sea una martingala uniformemente integrable?

La solución que di es$\min (\tau_n$, n) $, ¿podría alguien confirmar?

Gracias por adelantado !

Answer 1

En primer lugar, convéncete de que la siguiente afirmación es cierta.

Sea$X \in L^1(P)$ una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad$(\Omega,\mathcal{F},P)$. Entonces, la colección$C = \{E[X\mid\mathcal{G}]: \mathcal{G} \subset \mathcal{F}]\}$ es uniformemente integrable.

Ahora, deje que$M$ denote una martingala local con la secuencia de localización$(\tau_n)$. Queremos mostrar que$\{M^{\tau_n\wedge n}_t:t \in \mathbf{R}_+\}$ es uniformemente integrable. PS

Observe que$$M^{\tau_n\wedge n}_t = M^{\tau_n}_{t\wedge n} = E[M^{\tau_n}_n \mid \mathcal{F}_t]$por definición de martingala y$M^{\tau_n}_n \in L^1(P)$. Aquí$\mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}$ es una filtración apropiada .

Answer 2

El resultado es verdadero, dado como, por ejemplo, el Teorema I.50 del libro de Protter "Integración estocástica y ecuaciones diferenciales", y su argumento es correcto. En detalle, para obtener el resultado, asuma que$M$ es una martingala local. Deje que$(T_n)$ sea una secuencia de localización, de manera que$M^{T_n}$ sea una martingala para cada$n$. Entonces$M^{T_n\land n}$ es una martingala uniformemente integrable, ya que$M^{T_n\land n}_t = M^{T_n}_{n\land t} = E(M^{T_n}_n | \mathcal{F}_{n\land t})$ es casi seguro para$t\ge0$.