¿Es una martingala local localmente uniformemente integrable?
Aquí defino que una martingala local es el proceso con una secuencia de localización$\tau_n$ tal que el proceso detenido es martingala.
Pero, ¿cómo podemos encontrar una secuencia de localización tal que el proceso detenido sea una martingala uniformemente integrable?
La solución que di es$\min (\tau_n $, n) $, ¿podría alguien confirmar?
Gracias por adelantado !
En primer lugar, convéncete de que la siguiente afirmación es cierta.
Sea$X \in L^1(P)$ una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad$(\Omega,\mathcal{F},P)$. Entonces, la colección$C = \{E[X\mid\mathcal{G}]: \mathcal{G} \subset \mathcal{F}]\}$ es uniformemente integrable.
Ahora, deje que$M$ denote una martingala local con la secuencia de localización$(\tau_n)$. Queremos mostrar que$\{M^{\tau_n\wedge n}_t:t \in \mathbf{R}_+\}$ es uniformemente integrable. PS
Observe que$$M^{\tau_n\wedge n}_t = M^{\tau_n}_{t\wedge n} = E[M^{\tau_n}_n \mid \mathcal{F}_t]$ por definición de martingala y$M^{\tau_n}_n \in L^1(P)$. Aquí$\mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}$ es una filtración apropiada .
El resultado es verdadero, dado como, por ejemplo, el Teorema I.50 del libro de Protter "Integración estocástica y ecuaciones diferenciales", y su argumento es correcto. En detalle, para obtener el resultado, asuma que$M$ es una martingala local. Deje que$(T_n)$ sea una secuencia de localización, de manera que$M^{T_n}$ sea una martingala para cada$n$. Entonces$M^{T_n\land n}$ es una martingala uniformemente integrable, ya que$M^{T_n\land n}_t = M^{T_n}_{n\land t} = E(M^{T_n}_n | \mathcal{F}_{n\land t})$ es casi seguro para$t\ge0$.
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