Elipse $3x^2-x+6xy-3y+5y^2=0$ ¿Qué son los semiejes mayores y menores, el desplazamiento del centro y el ángulo de inclinación?

Question

Dada la elipse $$3x^2-x+6xy-3y+5y^2=0$$ encontrar lo siguiente:

• eje semimayor, $a$
• eje semiprincipal, $b$
• desplazamiento del centro desde el origen (o coordenadas del centro de la elipse $(h,k)$ )
• ángulo de inclinación $\theta$ (o $\tan\theta$ ).

Por supuesto, esto puede hacerse sistemáticamente equiparando los coeficientes con

$$\frac{((x-h)\cos\theta-(y-k)\sin\theta)^2}{a^2}+\frac{((x-h)\sin\theta+(y-k)\cos\theta)^2}{b^2}=1$$

que se obtiene aplicando los parámetros de rotación y traslación a la ecuación estándar de la elipse. ¿Quizás alguien pueda completar la solución?

Además, ¿se puede resolver de otra manera, y en particular, sin utilizar la trigonometría trigonométricas?

(NB - este problema surgió mientras intentaba resolver otro problema en MSE aquí ¿Cómo resolver esta pregunta de progresión aritmética? que dio lugar a la ecuación diofantina anterior; suponiendo en cambio que $x,y$ puede tomar valores no enteros la ecuación describe una elipse girada y trasladada)

Answer 1

Para encontrar el centro, traduce hasta que los términos de primer grado desaparezcan.

$$3(x+u)^2-(x+u)+6(x+u)(y+v)-3(y+v)+5(y+v)^2\to\\ 6u-1+6v=0,\\ 6u-3+10v=0.$$ La solución es $(-\frac13,\frac12)$ y la ecuación reducida $$3x^2+6xy+5y^2-\frac7{12}=0.$$

Entonces hay que diagonalizar la matriz de coeficientes cuadráticos $$\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},$$ con la ecuación característica $$\lambda^2-8\lambda+6=0,$$ dando los valores propios $4\pm\sqrt{10}.$

Después de la diagonalización, $$(4-\sqrt{10})u^2+(4+\sqrt{10})v^2=\frac7{12},$$ dando las longitudes del semieje $$\sqrt{\frac7{12(4-\sqrt{10})}}\text{, and }\sqrt{\frac7{12(4+\sqrt{10})}}.$$ La dirección del eje largo viene dada por algún vector propio asociado al valor propio pequeño, como $(-3, \sqrt{10}-1)$ , por lo que el ángulo $$-\arctan\frac{\sqrt{10}-1}3.$$

Answer 2

He aquí otro método sugerido por un amigo mío.

Mantenga la solución del centro de la elipse identificada anteriormente como $(-\frac13,\frac12)$ .

Cambia el centro de la elipse como al origen. La ecuación de la elipse trasladada es:
$$E':\qquad 3x^2+6xy+5y^2-\frac7{12}=0\qquad \cdots (1)$$ Consideremos una circunferencia en el mismo centro que la elipse (es decir, el origen) con ecuación $$C': \qquad x^2+y^2=r^2\qquad \qquad \qquad \qquad \cdots (2) $$ En la intersección de $E'$ y $C$ :

$$(1)-3\times(2):\\ 6xy+2y^2=\frac7{12}-3r^2$$ Sustituir en $(1)$ : $$\begin{align} 6\sqrt{r^2-y^2}y&=-\left[2y^2+\left((3r^2-\frac7{12}\right)\right]\\ 36(r^2-y^2)y^2&=4y^4+4\left(3r^2-\frac7{12}\right)y^2+\left(3r^2-\frac7{12}\right)^2\\ 40y^4+4\left(-6r^2-\frac7{12}\right)y^2+\left(3r^2-\frac7{12}\right)^2&=0 \end{align}$$ Por tangencia, $$\begin{align} 4^2\left(6r^2+\frac7{12}\right)^2&=4(40)\left(3r^2-\frac7{12}\right)^2\\ 6r^2+\frac7{12}&=\sqrt{10}\left(3r^2-\frac7{12}\right)\\ 3r^2(2-\sqrt{10})&=\frac7{12}(-1-\sqrt{10})\\ r^2&=\frac7{36}\frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}-2}=\frac7{72}(4+\sqrt{10})\\ r&=\sqrt{\frac7{72}(4+\sqrt{10})}\qquad \text{(semi-major axis)}\qquad \blacksquare \end{align}$$

En consecuencia, $$\qquad\qquad r=\sqrt{\frac7{72}(4-\sqrt{10})}\qquad \text{(semi-minor axis)}\qquad \blacksquare$$

La inclinación de la elipse se puede calcular fácilmente a partir de los valores de $x,y$ que se obtiene sustituyendo los valores de $r$ .

Answer 3

Sin dejar de reconocer la muy buena solución de Yves Daoust, he aquí una solución alternativa derivada anteriormente utilizando sólo el cálculo básico y la simetría de una elipse en torno a su centro. Esto se publica sólo para información general.

1. Centro de la elipse

Ecuación de la elipse: $$3x^2-x+6xy-3y+5y^2=0$$

Diferenciación con respecto a $x$ : $$6x-1+6x\frac{dy}{dx}+6y-3y\frac{dy}{dx}+10y\frac{dy}{dx}=0$$

Cuando $\dfrac{dy}{dx}=0$ , $6x+10y=3$ .

Sustituyendo en la ecuación original se obtiene $24x^2+16x-9=0$ .

La resolución da $$(x,y)=\left(-\frac13\pm\frac{\sqrt{70}}2,\frac12\mp\frac{70}2\right)$$ que son las coordenadas de los puntos más alto y más bajo de la elipse. Como estos dos puntos son simétricos respecto al punto $$\left(-\frac13,\frac12\right)\qquad \blacksquare$$ este debe ser el centro de la elipse, dado que la elipse es simétrica respecto a su punto central.

Traslada la elipse de forma que el centro esté en el origen, sustituyendo $(x,y)$ en la ecuación original con $(x+h,y+k)$ , donde $(h,k)=(-\frac13,\frac12)$ , lo que da la ecuación de la elipse traducida como: $$3x^2+6xy+5y^2-\frac{7}{12}=0$$

2. Inclinación de la elipse

Consideremos la intersección de la elipse trasladada con la línea $y=mx$ . La inclinación de (el eje mayor/menor de) la elipse es el valor de $m$ cuando la distancia de los puntos de intersección al origen está en un máximo/mínimo.

Sustituyendo $y=mx$ en la ecuación original da: $$(3+6m+5m^2)x^2=\frac7{12}$$ Dejemos que $l$ sea la distancia del punto de intersección al origen. $$l^2=x^2+y^2=x^2(1+m^2)=\frac7{12}\underbrace{\left(\frac{1+m^2}{3+6m+5m^2}\right)}_{f(m)}$$ Diferenciando con respecto a m se ve que $\dfrac{df}{dm}=0$ cuando $$3m^2-2m-3=0\\ m=\frac{1\pm\sqrt{10}}3\quad \Rightarrow m^2=\frac{11\pm2\sqrt{10}}9$$ Sustituyendo en la fórmula anterior se obtiene que $l^2$ (y por lo tanto $l$ ) es máxima cuando $$m=\frac{1-\sqrt{10}}3\qquad \blacksquare$$ Por lo tanto, esta es la inclinación (o más bien, $\tan\theta$ , donde $\theta$ es el ángulo de inclinación) del eje mayor de la elipse.

3. Ejes semi-mayores y semi-minores

Los ejes semimayor y semimenor (normalmente denotados por $a,b$ en la notación estándar de la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ) vienen dadas por $l_{\text{max}},l_{\text{min}}$ respectivamente.

Por lo tanto, el semieje mayor, $a$ es

$$a=l_{\text{max}}=\sqrt{\frac7{12}\left(\frac{1+m^2}{3+6m+5m^2}\right)}\biggr|_{m =\frac{1-\sqrt{10}}3} =\sqrt{\frac7{72}(4+\sqrt{10})}$$

y el eje semicircular, $b$ es

$$b=l_{\text{min}}=\sqrt{\frac7{12}\left(\frac{1+m^2}{3+6m+5m^2}\right)}\biggr|_{m =\frac{1+\sqrt{10}}3} =\sqrt{\frac7{72}(4-\sqrt{10})}\qquad \blacksquare$$