Calcule los derivados de$\frac{d^{2\ell}}{dx^{2\ell}}\tanh(x)^{2k}$ en$x=0$

Question

Me gustaría calcular los derivados$\frac{d^{2\ell}}{dx^{2\ell}}_{\vert x=0}\tanh(x)^{2k}$ en$x=0$ donde$k,\ell\in \mathbb{N}$ enteros positivos con$\ell\geq k$.

No estoy seguro de cómo atacar seriamente este problema. ¿Me puede dar una instrucción sobre qué hacer en esta situación?

Los mejores deseos

Edición: En el caso de$k>\ell$ tenemos$\frac{d^{2\ell}}{dx^{2\ell}}_{\vert x=0}\tanh(x)^{2k}=0$. (ver el comentario y la respuesta abajo).

Answer 1

Tenemos:

$$\left.\frac{d^{2l}}{dx^{2l}}\tanh^{2k}(x)\right|_{x=0} =\frac{(2l)!}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\tanh^{2k}(e^{i\theta})e^{-2li\theta}\,d\theta=\frac{(2l)!}{2\pi i}\oint \frac{\tanh^{2k}(z)}{z^{2l+1}}\,dx$$ pero si $k>l$, la última integrando la función no tiene ninguna singularidad dentro de la unidad de disco, por lo que el lado derecho es cero.

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Para calcular el conjunto de la serie de Taylor de $\tanh(z)$ en una vecindad del origen, por lo general se explota la Weierstrass producto para el (hiperbólica) función coseno: $$ \cosh(z) = \prod_{n\geq 0}\left(1+\frac{4z^2}{(2n+1)^2 \pi^2}\right)$$ por lo tanto al tomar la derivada logarítmica de ambos lados: $$\begin{eqnarray*} \frac{\tanh(z/2)}{4z} &=& \sum_{n\geq 0}\frac{1}{z^2+(2n+1)^2\pi^2}=\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 0}\frac{(-1)^m z^{2m}}{\pi^{2m+2}(2n+1)^{2m+2}}\\&=&\sum_{m\geq 0}(-1)^m \frac{z^{2m}}{\pi^{2m+2}}\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^{2m+2}}\\&=&\sum_{m\geq 0}(-1)^m \frac{z^{2m}}{\pi^{2m+2}}\left(1-\frac{1}{4^{m+1}}\right)\zeta(2m+2)\end{eqnarray*}$$ entonces:

$$ \tanh(z) = \sum_{m\geq 0}(-1)^m z^{2m+1}\left(4^{m+1}-1\right)\frac{2\,\zeta(2m+2)}{\pi^{2m+2}}.\tag{1}$$

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Desde $\frac{d}{dz}\tanh(z)=1-\tanh(z)^2$, si queremos calcular la serie de Taylor de $\tanh^2(z)$ también tenemos la serie de Taylor de $\tanh^3(z)$, ya que el $\frac{d}{dz}\tanh^2(z) = 2(1-\tanh^2 z)\tanh(z) = 2\left(\tanh(z)-\tanh^3(z)\right).$ Una vez que tenemos la serie de Taylor de $\tanh(z),\tanh^2(z),\tanh^3(z)$ también tenemos la serie de Taylor de $\tanh^4(z)$ y así sucesivamente. Así que el problema en el caso de $l\geq k$ se reduce a calcular la serie de Taylor de $\tanh^2(z)$ y pasando a través de una relación de recurrencia. Ahora $(1)$ le da:

$$\begin{eqnarray*} \tanh^2(z)=1-\frac{d}{dz}\tanh(z) &=& 1-\sum_{m\geq 0}(-1)^m z^{2m}\left(4^{m+1}-1\right)\frac{(4m+2)\,\zeta(2m+2)}{\pi^{2m+2}}\\&=&\sum_{m\geq 1}(-1)^{m+1} z^{2m}\left(4^{m+1}-1\right)\frac{(4m+2)\,\zeta(2m+2)}{\pi^{2m+2}}.\end{eqnarray*} $$