Radio de curvatura y eje de rotación instantáneo

Question

Para un cuerpo rígido en movimiento plano puedo asociar el concepto de Eje de rotación instantáneo $IAOR$ el punto desde el que puedo ver el cuerpo en rotación pura. Considere cualquier punto del cuerpo rígido.

Esta es mi preocupación. ¿Por qué el radio de curvatura de la trayectoria del punto y su distancia a la $IAOR$ ¿no es lo mismo? Tomemos, por ejemplo, un disco que rueda sobre una superficie horizontal lisa.

El radio de curvatura del punto más alto es $4r$ pero la distancia de ese punto al eje de rotación es $2r$ (Aquí el $IAOR$ es el punto más bajo del disco). Lo que creo es que es la distancia del punto de $IAOR$ debería ser el mismo que el radio de curvatura. ¿En qué me equivoco?

EDITAR Así es como he calculado el radio de curvatura del punto más alto. Es la velocidad $w.r.t.$ tierra es $2v$ por lo que según la ecuación de la cinemática la aceleración centrípeta de una partícula cuya trayectoria se conoce de antemano sería $R_c=\frac{(2V_0)^{2}}{a_c}$ . La aceleración centrípeta seguiría siendo la misma $=\omega^{2}r$ o $\frac{V_0 ^2}{R}$ Introduciendo los valores obtenemos el radio de curvatura $=4R$ ( donde $R$ es el radio del cuerpo rodante).

Answer 1

Empecemos por establecer algunos parámetros.

El cuerpo gira con velocidad angular $\omega$ y su centro de masa se mueve traslacionalmente con velocidad $\omega r$ .

La aceleración centrípeta del punto superior alrededor del centro vendrá dada por,

$a_c=\omega^2r $ $\tag 1$

Para un cuerpo puramente rodante, el punto de contacto será el eje de rotación instantáneo. La velocidad angular del cuerpo rígido seguirá siendo $\omega$ alrededor de este eje. (Se puede demostrar dividiendo la velocidad del punto superior con respecto al $IAOR$ que será $2v$ y su la distancia que será $2r$ y eso te dejará con $\omega$ .)

En torno a este eje, la aceleración centrípeta del punto más alto vendrá dada por,

$A_c=\omega^{2} (2r)$

$\therefore \space $ $A_c=2a_c$ $\tag 2$

La aceleración centrípeta del punto superior sobre $IAOR$ también se puede dar por,

$A_c=\frac{v^2}{R'}$ , donde $R'$ es el radio de curvatura.

$R'=\frac{v^2}{A_c}$

Para un cuerpo puramente rodante, la velocidad del punto superior es $2\omega r$ y el cero del $POC$ .

De las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ ,

$R'=\frac{4\omega^2r^2}{2\omega^2 r}$ ,

$\therefore \space$ $R'=2r$

Creo que el error que estabas cometiendo es asumir la aceleración centrípeta del punto superior sobre el $IAOR$ sea igual a $\omega^2 r$ , pero en realidad es $2\omega^2 r$ .

Esto tiene sentido, ¿no? Intentemos hacer un cálculo inverso e intentemos encontrar $A_c$ sobre el $IAOR$ .

$A_c=\frac{v^2}{2r}$

$\space\space\space\space = \frac{4\omega^2r^2}{2r}$

$\space\space\space\space = 2\omega ^2 r$

Y de la ecuación $(1)$ ,

$A_c=2a_c$ Lo cual tiene todo el sentido del mundo.

Answer 2

El radio de curvatura es igual a la distancia al eje de rotación instantáneo (IAOR). Esto es cierto debido a la definición del IAOR: en un instante dado existe un eje perpendicular al plano de movimiento tal que cualquier punto del cuerpo está en rotación pura, es decir, tiene una trayectoria circular alrededor de ese eje. Si un punto está en movimiento circular alrededor del IAOR, entonces el radio de curvatura es igual a la distancia a ese eje como se muestra en la figura de abajo:

Answer 3

Mi respuesta es muy sencilla. En esta respuesta, no mostraré ningún cálculo riguroso, sólo el concepto.

En el primer caso, debe entender que el El IAOR también se conoce como el punto de VELOCIDAD CERO (en el marco del suelo) .

SIN EMBARGO- Tenga en cuenta que El IAOR podría no ser el punto de aceleración cero

El IAOR es ese punto sobre el que se puede suponer que el cuerpo realiza un balanceo puro sólo en ese instante. Se ha facilitado la búsqueda de la velocidad si se va por vectores.

Sin embargo, debe ser consciente de que El radio de curvatura es un concepto matemático .

El radio de curvatura es en realidad el radio del círculo más grande que puede tocar la curva en un solo punto. Está relacionado con la trayectoria del punto

CONCLUSIÓN - Podemos ver claramente que son dos parámetros diferentes, uno es completamente físico mientras que el otro es matemático (sin embargo puede ser calculado por medios físicos como ha hecho Mitchell)

Yo mismo me topé con este problema en el instituto y lo superé después de algunos esfuerzos y devaneos cerebrales

Puedes probar este problema para entender mejor el concepto.

Espero que esto ayude