¿Es posible demostrar que $\lim_{x\to 0} {ln(x)x} = 0$ sin la regla de L'Hospital?

Question

¿Podría alguien darme la respuesta? ¿Es posible demostrar que $\lim_{x\to 0} {\ln(x)x} = 0$ sin la regla de L'Hospital?

Answer 1

Utilizando la fórmula integral $\ln(x)=\int_1^x \frac{dt}{t}$ y $\ln(y^2)=2\ln(y)$ tenemos para todos $x \in (0,1)$ , $$ |x\ln(x)| =2\left|x\ln(x^{1/2})\right| \leq 2\int_{\sqrt{x}}^1\frac{x}{t}\,dt\leq 2 \int_{\sqrt{x}}^1\frac{x}{\sqrt{x}}\,dt \leq 2\sqrt{x}(1-\sqrt{x}). $$ La conclusión se desprende al apretar ya que el límite de la h.r. como $x\to 0^+$ es $0$ .

Answer 2

También se pueden utilizar las siguientes series de potencias, que convergen para $-1 < x \leq 1$ : $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$$ Entonces $x \ln x$ se convierte en $$x \ln x = (x-1) \ln x + \ln x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^{n+1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}(x-1)^n = (x-1) + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{n+1}}{n} + \frac{(-1)^{n+2}}{n+1}\right) (x-1)^{n+1} \to -1 + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{n+1+n+1}}{n} + \frac{(-1)^{n+2+n+1}}{n+1} \right) = -1 + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = -1+1 = 0$$

Answer 3

Si podemos utilizar el hecho de que $$\frac{\ln(u)}{u}\to 0\ \ \text{($ u\N-oficialidad $)},$$ considere $x=1/u.$

Answer 4

Puede demostrar que $e^t > 2^t > t^2$ para $t$ suficientemente grande. Por lo tanto, se puede demostrar que $$ \lim_{t\to +\infty} \frac{t}{e^t} = 0 $$ sin usar derivadas. Sea $x=e^{-t}$ y encuentras $$ 0 = \lim_{t\to +\infty} \frac{t}{e^t} = \lim_{x\to 0} -x \log x. $$

La cuestión, sin embargo, es: cómo la función $\log x$ ¿se ha definido?