El valor esperado de$X^{-1}$,$X$ es un% no central $\chi^2$. No se puede entender un paso de una ecuación en un papel

Question

Estoy leyendo el siguiente artículo:

Mudholkar GS, Chaubey YP, Ching-Chuong L (1976). Aproximaciones para el doblemente noncentral-$F$ distribución. Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos, 5(1):49-63. doi:10.1080/03610927608827331

En este trabajo (sección 2, página 51), $X$ $Y$ se definen a ser noncentral $\chi^2$ variables aleatorias, con los respectivos grados de libertad $\nu_1$ $\nu_2$ y noncentrality parámetros de $\lambda_1$ y $\lambda_2$. $X$ y $Y$ también se supone para ser independiente.

El intento de los autores para obtener una aproximación a la cruda momentos de la relación $X/Y$ (lo que se conoce seguir un doble noncentral $F$ distribución, dadas las suposiciones mencionadas anteriormente).

El $r$-th raw momento $\mu'_r$ $X/Y$ se define como $E\left[\left(\frac{X}{Y}\right)^r\right]$. El uso de la independencia de $X$$Y$, la primera igualdad en la ecuación (2.1) de la que dice el periódico (según entiendo):

$$ \mu'_r = E\left[X^r\right] E\left[Y^{-r}\right] \, \mathrm{,} $$

lo que tiene sentido para mí.

Mi primera duda es una notación problema. La ecuación anterior está escrito en el documento de la siguiente manera:

$$\mathtt{\mu'_r=EX^r \cdot EY^{-r}}$$

(el uso de una máquina de escribir de la fuente, como todas las de papel).

Más adelante en la misma página, los autores incluyen esta notación explicación:

$\mathtt{\mu_Y=EY}$

Así que supongo que $\mathtt{EY^{-r}}$ es sinónimo de $E\left[Y^{-r}\right]$, ¿no?

La ecuación anterior se desarrolla más como este en el papel:

$$\mathtt{\mu'_r=EX^r \cdot EY^{-r} = EX^r \cdot E \left[ 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right]^{-r} } \, \mathrm{.}$$

Y, tal vez es muy fácil, pero es aquí donde me ha perdido por completo. No entiendo este último paso. Podría usted por favor, dame un poco de luz?

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NOTA: de Acuerdo a este hilo: ¿Está bien hacer una pregunta sobre un determinado papel / modelo?, está bien publicar preguntas sobre determinados documentos como la actual.

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ACTUALIZACIÓN

Sólo (la esperanza), para hacerla más clara, la totalidad de la ecuación (2.1) en el artículo es como sigue (mediante su notación):

$$ \begin{align*} \mathtt{\mu'_r} &\mathtt{= EX^r \cdot EY^{-r}} \\ &\mathtt{= EX^r \cdot E \left[ 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right]^{-r}}\\ &\mathtt{= EX^r \cdot \left[ 1 + \binom{-r}{2}\frac{\mu_{2,Y}}{\mu_Y^2} + \binom{-r}{3}\frac{\mu_{3,Y}}{\mu_Y^3} + \binom{-r}{4}\frac{\mu_{4,Y}}{\mu_Y^4} + \cdots \right]} \end{align*} $$

donde $\binom{-r}{k}$ representa $\,\prod_{j=1}^{k}{\frac{-r-j+1}{j}}\,$, $\,\mu_Y = E[Y]\,$ y $\,\mu_{r,Y} = E\left[\left( Y - \mu_Y \right)^r\right]\,$ (central momentos).

Answer 1

Sí, $EY^{−r}$ es sinónimo de $E[Y^{−r}]$. (No me gusta no se hace explícito, ya que deja demasiadas oportunidades para que los malentendidos y errores).

Con respecto a la parte posterior, considere la posibilidad de:

$Y=\frac{Y}{E(Y)}\cdot E(Y)= E(Y)\cdot [\frac{Y}{E(Y)}-1+1]= E(Y)\cdot [\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}+1]$

Por lo tanto

$EY^{-r} = [E(Y)]^{-r}\cdot E \left[ \left( 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right)^{-r}\right] \, .$

Así que ahora comparar con el papel. La ecuación en el papel es

$\mu'_r=EX^r \cdot EY^{-r} = EX^r \cdot E \left[ 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right]^{-r}\,.$

Dividiendo por $EX^r$ hemos

$\mu'_r/EX^r = EY^{-r} = E \left[ 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right]^{-r}$.

Así que podemos ver de la última igualdad que se está afirmando

$EY^{-r} = E \left[ 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right]^{-r}\quad{^\ddagger}$

y así podemos ver $[E(Y)]^{-r}$ parece haber desaparecido, hay un término que falta en el papel.

$^\ddagger$ -- teniendo en cuenta que cuando se escribe $E\text{<term>}^{-r}$ parece que la intención de $E(\text{<term>}^{-r})$, por lo que esto significa $E\left( \left[ 1 + \frac{Y-EY}{EY} \right]^{-r}\right)$