Campo de vector invariante izquierdo de un grupo de mentiras

Question

¿Cómo puedo saber si un campo vectorial en un Grupo de Lie es invariante a la izquierda? Tengo la definición técnica. Pero, quiero entender, dado un campo vectorial específico, ¿qué debo hacer para probar si es invariante a la izquierda? Por ejemplo, aquí hay un campo vectorial en$\mathbb R^2$:

$V(x, y)=y\partial/\partial x-x\partial/\partial y$

Si este campo vectorial (es / no es) invariante a la izquierda, puede proporcionarme un ejemplo resuelto también de un campo vectorial que (no es / es).

Answer 1

Aquí es un ejemplo claro .

Supongamos que su Mentira grupo es $G=GL_n(\mathbb R)$ .
El espacio de la tangente a una matriz de $\Gamma\in G$ es el espacio vectorial $T_\Gamma(G)=\oplus_{i,j}\mathbb R\cdot \frac {\partial}{\partial x_{ij}}|_ \Gamma$ .
Toda la izquierda invariante en el campo de vectores en $G$ se obtiene mediante el siguiente procedimiento:
elija una matriz de $A\in M_n(\mathbb R)$ (ten en cuenta que $A$ no tiene por qué ser en $G$ !) y definir la izquierda invariante en el campo de vectores $\mathcal X_A$ $$\mathcal X_A (\Gamma)=\sum_{i,j} (\Gamma A)_{ij} \frac {\partial}{\partial x_{ij}}|_\Gamma $ $ donde $(\Gamma A)_{ij}=\sum_k \Gamma_{ik}A_{kj}$ $(i,j)$- entrada de la matriz producto $\Gamma A$.

Esta ilustración del hecho general de que la izquierda-invariante vectorial de los campos corresponden bijectively para el espacio vectorial tangente $T_e G$ de la Mentira de grupo $G$ a su identidad.
En el ejemplo de arriba, donde $G=GL_n(\mathbb R)$ $e=I$ =identidad $n\times n$-matriz, tuvimos $T_{I} GL_n(\mathbb R)=M_n(\mathbb R)$.