Si$x\lt y $ para x y y reales arbitrarias, existe un r$r$ real tal que$x \lt r \lt y$ y por lo tanto infinitos.

Question

Si $x\lt y $ arbitrarias real $x$ $y$ existe un real r $r$ tal que $x \lt r \lt y$

Demostrar que existe al menos una r, para satisfacer esta desigualdad, y por lo tanto infinitly muchos.

Me preguntaba si esto sería una aceptable respuesta a esta pregunta.

$y-x \gt 0 \to $ por el uso de Archimedian Principio de que no existe $n$ tal que $n(y-x) \gt 1$

por lo $n \gt \frac 1{y-x}$ $y-x \gt \frac 1n$ todos los $n \gt \frac 1 {y-x}$ así que vamos a $\frac 1n = c$ $y-x>c$

Suponga $x+c \lt x$ $x-x-c\gt 0$ $-c>0$ Esto es una contradicción debido a Trichtomy lo $x+c \gt x$

Supongamos entonces que $x+c \gt y$ Desde $y-x \gt c$ $x+(y-x) \gt c+ x \to y \gt x+c$ Contradicción. Por lo $x+c \lt y$ Así que Vamos a $x+c = x+ \frac 1n \forall n\gt \frac 1 {y-x} = r$, ya que la r es acotada por encima de $x \lt r \lt y$ para infinidad de r.

Sería una respuesta correcta? Si no, ¿cuáles son mis errores? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Simplemente puedes tomar$\frac{x+y}{2}$.

Answer 2

La prueba es correcta, pero aquí están algunos comentarios:

1) es un axioma de la orden que la si $a < b$ $a + c < b + c$ todos los $c$. Hacer uso de esto, pero usted puede eliminar la necesidad de tricotomía/prueba por contradicción de la siguiente manera:

Usted sabe $y - x > c > 0$. La adición de $x$ $c > 0$rendimientos $x + c > x$. La adición de $x$ $y - x > c$da $y > x + c$. Y así, $x < x + c < y$.

2) Tu última frase es una especie de torpe. Me permito sugerir la escritura: "Así que, si $n > 1/(y - x)$, hemos demostrado que $x + 1/n$ es un número real entre el$x$$y$. Ya hay infinitamente muchos enteros mayores que $1/(y - x)$, esto le da un número infinito de números reales entre $x$$y$."