¿Cuántos isomorfismos entre dos grupos abelianos?

Question

Estoy tratando de averiguar cómo muchos isomorphisms hay de $V_4$ (Klein-4) a $C_2 \times C_2$ (2º grupo cíclico)

En primer lugar, ya he demostrado que de hecho son isomorfos y claramente hay $4!$ bijections de$V_4$$C_2 \times C_2$, sin embargo sólo el $4!/4 = 6$ de estas mapa de la identidad a la identidad, por lo que hay en la mayoría de las $6$ isomorphisms de$V_4$$C_2 \times C_2$.

Ahora, estoy un poco confundido en este momento, sobre todo porque ambos son abelian. El mapa que se utiliza para mostrar que son isomorfos I 'constucted' mediante la comparación de las tablas de Cayley de ambos, y demostrando que son "en esencia" exactamente el mismo, y me asignan para cada elemento en el orden en que aparecen en la tabla de Cayley. Mi confusión viene porque no estoy seguro de las consecuencias de la asignación de la no identidad de los elementos de manera diferente, así que al final no se sabe realmente si hay $6$ isomorphisms o sólo $1$. Habiendo dicho eso, yo hice el mapa de la no-identidad de los elementos de manera diferente y vio que todavía es un isomorfismo, que es$\phi (g_1 g_2) = \phi (g_1) \phi(g_2)$$g_1, g_2 \in V_4$. Así que estoy pensando que hay $6$ isomorphisms, sino porque dudo yo pensé que había puesto para una mejor perspectiva.

Muchas gracias.

Answer 1

Otra forma de pensar sobre el problema, ya que como han declarado los dos grupos son isomorfos, es determinar el tamaño de la automorphism grupo de $C_2\times C_2.$ Si consideramos a $C_2\times C_2$ como dos dimensiones de espacio vectorial sobre el campo de dos elementos, $\mathbb{F}_2$, luego de un automorphism es sólo una invertible $2\times 2$ matriz con entradas en $\mathbb{F}_2$. Por lo tanto $Aut(C_2\times C_2)\cong GL_2(\mathbb{F}_2)$.

Para calcular el orden de $GL_2(\mathbb{F}_2)$ aviso hay tres opciones posibles para la primera fila ((1,0), (1,1), (0,1)), y habiendo elegido esta fila, ahora tenemos dos opciones para la segunda fila (cualquiera de las dos no elegimos). Por lo tanto el orden de $GL_2(\mathbb{F}_2)$ es de 6.

Siguiendo un procedimiento similar a lo que hicimos anteriormente, se puede demostrar que $$ |GL_n{(\mathbb{F}_q)}|=(p^n-1)(q^n-p)(q^n-q^2)\ldots(q^n-p^{n-1}) $$ donde $\mathbb{F}_q$ es el campo de $q=p^m$ elementos. Nuestro caso de la siguiente manera de dejar a $n=q=2$.

Answer 2

Necesitamos precisamente de dos no de elementos de identidad en $C_2\times C_2$ para generar el grupo. La fijación de dos no-identidad de los generadores de $V_4$, sólo tenemos que averiguar cuántas maneras podemos hacer un mapa de esos dos a dos no de elementos de identidad de $C_2$ (desde un homomorphism está determinado por lo que se hace a los generadores, y tendremos que asignar el fijo generadores de $V_4$ a dos no de elementos de identidad de $C_2\times C_2$ para obtener un isomorfismo).

De hecho, la respuesta es $6$. Hay $3$ opciones para enviar el primer generador, y a pesar de que de los $3$ nos elija, $2$ restante de opciones para enviar el segundo. Por lo tanto, no se $3\cdot 2=6$ maneras de hacer un mapa.

Ver también esta relacionada con la respuesta.

Answer 3

Considerar la isomorphisms una forma que va, todas las flechas para el mismo objeto. La comparación de esos objetos es un automorphism. La pregunta es ¿cómo dices que esos son dos de isomorphisms para el mismo objeto. Así, la distinción de isomorphisms se mide por la necesidad de un no-identidad automorphism para convertir los dos. Así, no puede haber más isomorphisms que hay automorfismos de la diana. Sin embargo, la composición de isomorphisms es un isomorfismo, para componer cualquier isomorfismo con un automorphism el objetivo de producir una nueva isomorfismo a la meta. Por lo tanto, el número de isomorphisms entre dos objetos es el mismo que el número de automorfismos de cualquiera de los dos objetos.