Si$a_i\geq 1\ \forall i\in\{1,...,120\}$ y$\sum_{i=1}^{120}a_i\leq 180$, existen índices$i,j$ tales que$\sum_{k=i}^ja_k=59$

Question

Consideremos 120 números$a_1,a_2,...,a_{120}\in \mathbb{N}$ tal que$a_i\geq 1\ \forall i\in\{1,...,120\}$ y$\sum_{i=1}^{120}a_i\leq 180$. Demuestre que existen índices$i, j$ tales que$\sum_{k=i}^j a_k = 59$.

Pienso que podría ser capaz de usar el principio de la paloma de alguna manera, pero no estoy seguro de lo que correspondería a las palomas aquí ... Los nidos podrían ser 60 y las palomas 59, solo por intuición, pero no estoy seguro de Algo más. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

De hecho, puede utilizar el principio de casillero. Supongamos que la declaración no se cumple. Si hay dos sumas divisibles por 59, entonces éstas suman 118 y 177, cuya diferencia es 59, una contradicción. Luego, hay 119 sumas iniciales particionadas en 59 residuos módulo 59. Por lo tanto, tres dejan el mismo resto, llamémoslas$a<b<c$. Si$c-a\leq 118$, entonces hemos terminado. Por lo tanto, debe ser que$c-a=177$ y$b-a=118$. Sin embargo, eso da$c-b=59$. Obtenemos una contradicción, y la prueba está completa.