Como lo entiendo, no hay manera de probar que$\mathbb{N}$, según el modelo de PA, sea consistente, lo que significa que puede ser posible demostrar, por ejemplo. $5 = 3$. Por lo tanto, es probable que también sea imposible probar que$\mathbb{Z}$ - la extensión de$\mathbb{N}$ con inversos aditivos - es consistente.
Pero, ¿podríamos al menos demostrar que$\mathbb{Z}$ es consistente si $\mathbb{N}$ es? ¿Podríamos hacer lo mismo para$\mathbb{Q}$,$\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$?
Creo que esto al revés: las estructuras no son ni coherente o incoherente, teorías son! Además, dado cualquier estructura $\mathfrak{A}$ durante un año (de primer orden) la lengua, el conjunto de $\mathrm{Th} ( \mathfrak{A} )$ de todas las sentencias verdaderas en $\mathfrak{A}$ es consistente.
El punto de Gödel (Segundo) Teorema de la Incompletitud es que, a menos PA es incoherente, no hay manera de demostrar la consistencia de PA sin trascender PA sí mismo. Citando a George Boolos:
Se puede demostrar que si se puede demostrar que no puede ser comprobado de que dos más dos es cinco, entonces se puede demostrar que dos más dos es cinco, y las matemáticas son un montón de patrañas.
En consecuencia, no es de ninguna manera de demostrar que los modelos de PA existe (es decir, que no hay manera de demonstating que una determinada estructura de $\mathfrak{N}$ satisface todos los axiomas de la PA), sin trascender a PA.
Sin embargo, es posible saltar significativamente más fuerte teorías para demostrar la existencia de modelos de PA. Como un ejemplo, ZF se demuestra la existencia de la menor conjunto inductivo ($I$tal que $\emptyset \in I$ $x \cup \{ x \} \in I$ todos los $x \in I$), llame a $N$, y además a través de una traducción natural desde el lenguaje de la PA en el lenguaje de la teoría de conjuntos ZF se demuestra que $N$ satisface todos los axiomas de la PA.
En tal suficientemente fuerte como conjunto de teorías, podemos entonces facíl construcción de los números enteros, los racionales, etc.
Esto puede ser visto como simplemente "pasar la pelota": Mientras una lo suficientemente fuerte como teoría de la $T$ puede probar la consistencia de PA, esto solo significa que la consistencia de $T$ implica la consistencia de PA. En particular, $T$ sí va a ser objeto de Gödel del Teorema de la Incompletitud (siempre y cuando sea lo suficientemente simplemente se presentan).
Creo que lo que pretende hacer es un poco diferente de lo que había pedido. Así que, voy a reformular su pregunta primero. Es el caso de que la existencia de un modelo de $\mathbb N$ no puede ser probado sin hacer algunas hipótesis acerca de un universo fuera de $\mathbb N$. Poner un poco diferente, es imposible mostrar un modelo para los números naturales sin hacer uso de algunas de las más fundamentales de la noción, que debemos tomar en la fe.
Su pregunta es, entonces, si uno puede exhibir un modelo para la integerst siempre que uno tiene un modelo para los números naturales, y lo mismo para los racionales y los reales, y más allá. La respuesta es sí, se puede hacer, en muchos diferentes, pero esencialmente de la misma manera. Además, existen varios caminos que se pueden tomar, y por suerte todas las paradas intermedias dar esencialmente las mismas nociones.
Así, por ejemplo, supongamos que tenemos un modelo de $\mathbb N$ para los naturales de satisfacer los axiomas de Peano. Usted puede introducir primero los números enteros, considerando el seguimiento formal de la construcción: Vamos a $X=\mathbb N \times \mathbb N$, y definir la equivalencia de la relación de $(x,y)\equiv(u,v)$ precisamente al $x+v=u+y$. A continuación, se puede demostrar que el cociente es un modelo para los enteros. O, usted puede introducir primero la no-negativo racionales considerando $Y=\{(x,y)\mid y\ne 0\}$ y la equivalencia de la relación de $(x,y)\equiv(u,v)$ precisamente al $xv=yu$. Ahora el cociente será un modelo para $\mathbb Q_+$. Estos son muy estándar construcciones, y puede (con un poco de cuidado) de realizarse indistintamente para producir una esencia única (que significa, cualquiera de los dos son isomorfos) el modelo de los racionales. Ahora, uno puede completar los racionales en cualquiera de los varios caminos para llegar a una esencialmente único modelo de los reales. A continuación, se pueden construir los números complejos, y así sucesivamente.
Por lo tanto, si un modelo de los naturales existe, se puede (dentro de un ambiente de teoría de conjuntos) se utiliza para construir los modelos de los números enteros, racionales, reales, y así sucesivamente.
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