¿Cuál de los siguientes es correcto?

Question

Deje $F$ ser un campo finito.Si $f:F\rightarrow F$,dado por $f(x)=x^3$ es un anillo homomorphism,entonces

$(A)$$F=\mathbb Z/3\mathbb Z$.

$(B)$$F=\mathbb Z/2\mathbb Z$ o $Characteristic$$F=3$.

$(C)$$F=\mathbb Z/2\mathbb Z$ o $\mathbb Z/3\mathbb Z$.

$(D)$$Characteristic$ de $F$$3$.

Solución:

Si $F=\mathbb Z/3\mathbb Z=${$0,1,2$} o $F=\mathbb Z/2\mathbb Z=${$0,1$},entonces los elementos de a $F$ son la satisfacción de la operación de la preservación de las propiedades.Esto me lleva (COMPRUEBE por FAVOR!!) para la selección de opciones$(A)$,$(B)$ y $(C)$.

Yo no estoy de cómo aceptar o descartar la opción de $(D)$.

Por favor, dar algunas sugerencias acerca de mi intento......

Answer 1

Supongo que se tienen que hacer las siguientes observaciones (que justificar la falta de claridad en las conclusiones):

1. Si $f$ es un homomorphism de campos, a continuación, $$2=1+1=f(1)+f(1)=f(1+1)=f(2)=2^3.$$ This implies that $F$ tiene características de dos o tres.
2. $f$ es la asignación de identidad de $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$.
3. Si $F$ tiene características de las tres, entonces para todos los $z_1,z_2\in F$ hemos $$F(z_1+z_2)=(z_1+z_2)^3=z_1^3+3z_1^2z_2+3z_1z_2^2+z_2^3=z_1^3+z_2^3.$$ This implies that $f$ es un homomorphism de los anillos.
4. Si $F$ tiene características de las dos, y existe un elemento $z\in F$, $z\neq0,1$, entonces podemos concluir que $z+z^2\neq0.$
5. Si $F$ $z$ son como en el paso 4, $$f(1+z)=(1+z)^3=1+3z+3z^2+z^3=1+z+z^2+z^3=f(1)+f(z)+(z+z^2),$$ por lo $f$ no es un homomorphism de los anillos.
6. Poniendo todo esto junto vemos que (B) es la correcta y el resto de las afirmaciones son falsas. Para todo el crédito es importante que usted entienda la lógica de esta conclusión. Me di cuenta de que esto puede ser un paso difícil.