Teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales

Question

En la situación general de la $f:S\to R^m$ donde $S\subset R^n$. Hay una forma de que el valor medio teorema: $a\cdot (f(y)-f(x))=a\cdot (f'(z)(y-x))$ que requiere un vector $a$ y productos de puntos.

Es posible la creación de una generalización del valor medio el teorema de que no se trata de productos de puntos. Algo como $$f(y)-f(x) = cf'(z)(y-x)$$ donde $c$ es algún número real. La idea de que el camino de $f(t(y-x)+ x)$ donde $t\in [0,1]$ debe tener una tangente $f'(z)(y-x)$ que es paralela a $f(y)-f(x)$. Ahora no hay razón para que ellos deben tener la misma longitud y aunque así un constante factor de escala $c$ es necesario. Y para evitar algunos de los casos patológicos tal vez algunas condiciones son necesarias como $f(y)\neq f(x)$.

Answer 1

"La idea es que la ruta$f(t(y-x)+ x)$ donde$t\in [0,1]$ debería tener una tangente$f'(z)(y-x)$ que sea paralela a$f(y)-f(x)$."

Aunque esto suena como algo que podría contener, es falso en general. Considere un mapeo$f:[0,1]\to\mathbb{R}^3$ definido por$f(x) = (t,\sin(2\pi t),\cos(2\pi t))$. Luego$f(0) = (0,0,1)$ y$f(1) = (1,0,1)$ y por lo tanto$f(1)-f(0) = (1,0,0)$. Sin embargo, no hay un punto$t$ tal que$f'(t) = (1,0,0)$.