Evaluando un producto infinito

Question

¿Alguien sabe como evaluar el producto infinito?

$$ \ left (1 - \ frac {4} {1} \ right) \ prod_ {k = 3} ^ {\ infty} \ left (1 - \ frac {4} {k ^ 2} \ right) $$

Answer 1

Por $k \ge 3$:

PS

Esto es igual a

PS

Con cancelaciones: tenga en cuenta que solo$$\prod_{k=3}^{\infty} \left ( 1-\frac{4}{k^2}\right )$ sobrevive en el numerador, y un solo$$\frac{1\cdot 5}{3 \cdot 3} \frac{2\cdot 6}{4 \cdot 4} \frac{3\cdot 7}{5 \cdot 5} \cdots$ sobrevive en el denominador. Por lo tanto, el producto es$1\cdot 2$. El factor frontal produce un$3 \cdot 4$, por lo que el producto indicado es$1/6$.

Answer 2

Aquí hay una prueba alternativa que no usa telescopia. Tenemos que$$\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{k^2}\right).$$ This can be proven by using the Weierstrass product for the Gamma function combined with Euler's reflection formula. Dividing both sides by $ 1- \ frac {z ^ 2} {4}$, we see that $$\prod_{k\neq 2}\left(1-\frac{4}{k^2}\right)=\lim_{z\rightarrow 2} \frac{4\sin(\pi z)}{\pi z(2-z)(2+z)}.$$ Taylor expanding $ \ sin (\ pi z)$ around $ z = 2$, we are able to conclude that $$\prod_{k\neq 2}\left(1-\frac{4}{k^2}\right)=-\frac{1}{2}.$ $