$\ell^1$ vs. doble continuo de$\ell^{\infty}$ en ZF + AD

Question

Deje que el campo base sea los números reales o los números complejos (no creo que importe).

Deje que$(\ell^{\infty})'$ sea el doble continuo del espacio Banach$\ell^{\infty}$.
Deje que$\: f : \ell^1 \to (\ell^{\infty})' \:$ sea la incrustación obvia.

¿Prueba ZF + AD que$f$ es sobreyectivo?
¿Prueba ZF + DC + AD que$f$ es sobreyectivo?

Answer 1

Por un azar, en esta respuesta t.b. enviado una respuesta en la que se ocupa de los modelos de $\mathrm{ZF+DC+PM_\omega}$. De hecho, estos últimos estados que $\ell^1$ es reflexiva.

Martin Väth, El espacio dual de $L^\infty$ $L^1$ , Indag. Mathem., N. S., 9 (4), 1998, 619-625.

Se menciona que el axioma $\mathrm{PM_\omega}$ mantiene en Solovay del modelo. El propio papel de la cites tanto Solovay del original en papel, así como un papel de David Pincus que yo no era capaz de encontrar en línea (MR enlace).

Asumiendo $\mathrm{AD}$ mantiene en $L(\mathbb R)$ implica que de hecho es una Solovay modelo, por lo que la anterior debe ser aplicable (desde $\mathrm{AD}+V=L(\mathbb R)$ implica $\mathrm{DC}$).

Por último, una de las observaciones fue que es el hecho de que cada conjunto de números reales que tiene la propiedad de Baire que implica $\mathrm{PM}_\omega$, esta tarde fue mostrado constante sin un cardinal inaccesible, por el Sela.

Saharon Sela, Puede tomar Solovay inaccesible?, Israel Diario de Matemáticas 48 (1): de 1 a 47.

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Mientras que las respuestas anteriores a la perfección la segunda pregunta, se puede hacer de una manera más clara a través de Fremlin de la Teoría de la Medida, y, en particular, Vol. 5, Ch. 6 cuya última sección se ocupa de $\mathrm{ZF+AD}$.

Es que no me queda claro si o no los argumentos traídos en ese capítulo son suficientes para responder a la primera pregunta de forma positiva, aunque.

(los resultados están disponibles en una .ps archivo que puede convertir .pdf aquí)