distribución conjunta de $(W(1),W(3),W(3)-W(2))$ para un movimiento browniano $(W(t))_{t \geq 0}$

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad, $(W(t),t \ge 0)$ un movimiento browniano y $(\mathcal{F}_t,t \ge 0)$ su filtración natural.

¿Cuál es la distribución de probabilidad conjunta de $(W(1),W(3),W(3)-W(2))$ ?

Todo lo que sé es que $W(1) \sim \mathcal{N}(0,1),W(3) \sim \mathcal{N}(0,3), W(3)-W(2) \sim \mathcal{N}(0,1)$ y que $W(3)-W(2)$ es independiente de $W(1)$ .

Una pista sería genial. ¡Merci!

Answer 1

Pistas:

1. Desde $(W_t)_{t \geq 0}$ es un movimiento browniano, tiene incrementos independientes distribuidos normalmente; en particular, $W_3-W_2, W_2-W_1,W_1$ son variables aleatorias independientes que son gaussianas con media $0$ y la varianza $1$ . Esto implica que $(W_1, W_2-W_1,W_3-W_2)$ es (conjuntamente) gaussiano con media $\mu=0$ y la matriz de covarianza $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
2. Recordemos el siguiente enunciado: Sea $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$ sea un vector aleatorio gaussiano $X \sim N(\mu,C)$ y $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ . Entonces $Y:=AX$ es Gaussiwn con media $A \mu$ y la matriz de covarianza $A C A^T$ .
3. Demuestra que $Y= (W_1,W_3,W_3-W_2)$ satisface $$Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} W_1 \\ W_2-W_1 \\ W_3-W_2 \end{pmatrix}.$$
4. Concluya.