Si A representa el área de elipse$3x^2+4xy +3y^2=1$, entonces el valor de$\frac{3\sqrt{3}}{\pi}A = ?$

Question

Si a representa el área de la elipse $3x^2+4xy +3y^2=1$, entonces el valor de $\frac{3\sqrt{3}}{\pi}A = ?$

Mi planteamiento :

Desde el área de la elipse es $\pi ab$ donde a es semi eje mayor y b es el semi eje menor.

Deje $(rcos\theta , r sin\theta)$ ser cualquier punto de la elipse. Desde esta elipse tiene su centro en (0,0).

Por tanto, la elipse pasa por $(rcos\theta, rsin\theta)$

Ecuación de la elipse $3x^2+4xy +3y^2=1$ puede ser escrito como $3r^2cos^2\theta +4r^2sin\theta cos\theta +3r^2sin^2\theta =1$

$\Rightarrow 3r^2 +r^2 sin2\theta =1$ $\Rightarrow r^2= \frac{1}{3+sin2\theta}$

Por favor, sugiera si esta es la manera correcta de acercarse a él , y por favor, sugerir más. Gracias

Answer 1

INSINUACIÓN:

Como el área es una de las invariantes en la rotación de ejes , use este método para eliminar$xy$ para encontrar los valores de$a,b$ en los nuevos ejes de coordenadas

Answer 2

Podría usar el siguiente hecho: si una elipse está definida implícitamente por$$\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2=1$ $, entonces su área viene dada por la siguiente fórmula$$A=\frac{2\pi}{\sqrt{4\alpha\gamma-\beta^2}}$ $ También podría usar la rotación del eje para transformar la expresión implícita en el fórmula tradicional de la elipse, es decir,$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $ Entonces,$A=\pi a b$ sería el área de la elipse.

Answer 3

En general, usted tendría que diagonalize la forma cuadrática parte. Pero, como se observó, las coordenadas polares de trabajo maravillas de este tiempo.

• $\sin2\theta$ toma todos los valores en el rango de $[-1,1]$
• Por lo tanto, $3+2\sin2\theta$ toma todos los valores en el rango de $[1,5]$.
• Por lo tanto, $r^2$ toma todos los valores en el rango de _______________
• Por lo tanto, $r$ toma todos los valores en el rango de _______________
• Por lo tanto, los semi-ejes son _______ y ________

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