¿Cuándo son dos toros biholomórficos?

Question

Si $\Lambda \subset \mathbb{C}$ es un entramado, deje $T_{\Lambda}$ ser el torus $\mathbb{C}/\Lambda$. Mi pregunta es:

Si $\Lambda_1, \Lambda_2 \subset \mathbb{C}$ son dos celosías, cuando se $T_{\Lambda_1}$ $T_{\Lambda_2}$ biholomorphic?

He encontrado que si existe un biholomorphism $\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ envío de $\Lambda_1$ $\Lambda_2$(es decir. $\varphi(\Lambda_1)= \Lambda_2$ ), $\varphi$ induce un biholomorphism de$T_{\Lambda_1}$$T_{\Lambda_2}$. Así que busqué biholomorphic matrices y me encontré $G=\left\{ \left( \begin{matrix} a & b \\ -b & a \end{matrix} \right) : (a,b) \in \mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\} \right\}$; como un subgrupo de $\text{GL}_2(\mathbb{R})$, $G \simeq \mathbb{C}^*$ por lo tanto:

Si $(\omega_1,\omega_2)$ $(\alpha_1,\alpha_2)$ son colinear en $\mathbb{C}^2$ ($\mathbb{C}$- espacio vectorial), a continuación, $T_{\Lambda_1}$ $T_{\Lambda_2}$ son biholomorphic, con $\Lambda_1=\omega_1 \mathbb{Z}+ \omega_2 \mathbb{Z}$$\Lambda_2= \alpha_1 \mathbb{Z}+ \alpha_2 \mathbb{Z}$.

Sin embargo, está lejos de ser completa. También, no sé cómo probar que dos tori no biholomorphic, hay un buen invariante para que? (De hecho, me di cuenta de que lo único que sé es invariante por homeomorphism.)

Answer 1

Dos celosías determinar el mismo toro (o de curva elíptica) si y sólo si las celosías $\Lambda_1, \Lambda_2$ son homotethic, es decir, $\Lambda_1 = \alpha \Lambda_2$ algunos $\alpha \in \mathbf C^\times$. Ustedes han sido capaces de demostrar una dirección. En el otro sentido, suponga que se dan un isomorfismo $\mathbf C/\Lambda_1 \to \mathbf C/\Lambda_2$. Este isomorfismo ascensores de un isomorfismo entre sus universal que cubre los espacios, $\mathbf C \to \mathbf C$, de tal manera que $\varphi(\Lambda_1) = \Lambda_2$. Entonces estamos reducido en el caso de que usted ya ha demostrado.

Para responder a su pregunta acerca de la invariantes: el conjunto de $\{\Lambda : \Lambda \subseteq \mathbf C \text{ is a lattice}\}/\sim$ donde $\sim$ es la equivalencia de la relación de $\Lambda \sim \alpha \Lambda$, clasifica las curvas elípticas, por lo que acabamos de decir. Resulta que este juego tiene una muy importante descripción geométrica. Si $\Lambda = \left<\omega_1, \omega_2\right >$, entonces tenemos $\Lambda \sim \left< \omega_1/\omega_2, 1\right >$, and we can always make sure that $\tau = \omega_1/\omega_2$ has positive imaginary part (by switching $\omega_1$ and $\omega_2$). Moreover, if we change the basis $\{\omega_1, \omega_2\}$ by an element of $\text{SL}_2(\mathbf Z)$, so we get the basis $\{a\omega_1 + b\omega_2, c\omega_1 + d\omega_2\}$, then $\tau$ is changed into $\frac {\tau + b}{c\tau + d}$. Por lo tanto, hemos llegado a la siguiente observación:

El conjunto $\{\Lambda : \Lambda \subseteq \mathbf C \text{ is a lattice}\}/\sim$ es en bijection con las órbitas de $\text{SL}_2(\mathbf Z)$ actuando como transformaciones de Möbius en la mitad superior del plano -$\mathbf H$.

En resulta que $\mathbf H/\text{SL}_2(\mathbf Z)$ tiene la estructura de un noncompact superficie de Riemann isomorfo a $\mathbf C$. La función que normalmente se suministra este isomorfismo es llamado el elípticas modulares invariante, o el Klein j-función. Es el más simple (no trivial) ejemplo de una forma modular. Por lo tanto, cada curva elíptica sobre $\mathbf C$ $j$- invariante, que es un número complejo, y dos curvas elípticas son isomorfos si y sólo si tienen el mismo $j$-invariante.

Si usted quisiera aprender más, cualquier libro que analiza las curvas elípticas sobre $\mathbf C$ debe satisfacer su curiosidad.