Demostrar una propiedad de dos polinomios cuando uno de ellos divide al otro

Question

Supongamos que$P(x)$ es un polinomio que puede ser factorizado en un producto de diferentes términos lineales, que es$P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)$ y supone que$Q(x)$ divide$P(x)$ (es decir,$Q \mid P$). ¿Cómo se puede demostrar que$Q(x)$ también puede ser factorizado en un producto de diferentes términos lineales (y aún más fuerte: de modo que todos ellos sean los términos que aparecen en$P(x)$ factorización)? Esta declaración apareció en mi curso de álgebra lineal, pero no lo demuestro por mí mismo.

Answer 1

Insinuación.

Un elemento irreductible que divide$Q$ divide$P$.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Suponiendo que el anillo del coeficiente es un dominio, entonces cada factor$\,x-a_i\,$ es primo, y los productos primarios siempre tienen un factor único ; en particular, los factores de$\,p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\,$ son de forma$\,p_1^{f_1}\cdots p_k^{f_k}\,$ para$\,f_i \le e_i\,$ (hasta asociación, es decir, factores de unidad).