Pregunta sobre el lema colapsado

Question

Decir $P$ es $\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}\}$, $\in$ es un bien fundado y extensional relación(como podemos ver, no vacía pone en $P$ son singletons), ¿cuál es la imagen de $ \{\{\emptyset\}\}$ a través de la función de $\pi$ en el Colapso Lema?

Aquí está mi intento:

$\pi(\emptyset) = \emptyset$, $\pi(\{\emptyset\})=\{\emptyset\}$, ya que son transitivos. $\pi(\{\{\emptyset\}\})= \{\pi(z):z \in \{\{\emptyset\}\}\} =\{\{\emptyset\}\}$, que no es transitiva. Algo debe de estar mal. ¿La relación $E$ $P$ necesario para ser transitiva? No me parece que tal requisito en la wikipedia, o Jech del libro de texto.

Answer 1

Su cálculo es correcto:$$\pi ( \{ \{ \emptyset \} \} ) = \{ \pi ( \{ \emptyset \} ) \} = \{ \{ \pi ( \emptyset ) \} \} = \{ \{ \emptyset \} \}.$ $

Tenga en cuenta que el colapso de Mostowski no envía cada conjunto en$P$ a un conjunto transitivo, pero la imagen de$P$ en sí misma debajo del mapa colapsado es un conjunto transitivo. (En su ejemplo particular, ya que$P$ es transitivo$\pi [ P ] = P$.)

Para un ejemplo bastante extremo, considere$\mathbb{N}$ con la relación sucesora$m \mathrel{S} n$ iff$n = m + 1$. Luego tenemos lo siguiente: $$ \begin{align} \pi ( 0 ) &= \{ \pi ( m ) : m \mathrel{S} 0 \} = \emptyset; \\ \pi ( 1 ) &= \{ \pi ( m ) : m \mathrel{S} 1 \} = \{ \pi ( 0 ) \} = \{ \emptyset \} \\ \pi ( 2 ) &= \{ \pi ( m ) : m \mathrel{S} 1 \} = \{ \pi ( 1 ) \} = \{ \{ \emptyset \} \} \\ &\vdots \\ \pi ( n + 1 ) &= \{ \pi ( m ) : m \mathrel{S} n+1 \} = \{ \pi ( n ) \} = \overbrace{ \{ \{ \cdots \{ }^{n+1\text{ times}} \emptyset \} \cdots \} \} \end {align} $$