Derivados direccionales - Intuición geométrica

Question

Sólo tengo una pregunta sobre los derivados direccionales.

Sé que para un vector unitario $v$ es $ \nabla f \cdot v$ (donde $v$ es la dirección en la que queremos encontrar el derivado de).

La prueba de esto usando límites tiene sentido, pero ¿cómo verías esto geométricamente?

El vector de gradiente es la dirección en la que la función aumenta más, pero al tener un punto producto de esto con un vector unitario aparentemente da la derivada que va en esa dirección.

No estoy muy seguro de cómo interpretar el producto de los puntos geométricamente.

¡Gracias!

Answer 1

Parece que estás haciendo dos preguntas, una sobre el derivado direccional, la otra sobre el producto de punto. Como tu pregunta parece ser mayormente sobre la derivada direccional, daré una respuesta explicando el significado geométrico de la derivada direccional. Para facilitar la visualización, restrinjo la atención a las funciones $ \mathbb {R}^{2} \to\mathbb {R},$ pero $ \mathbb {R}^{2}$ puede en principio ser reemplazado por $ \mathbb {R}^{n}.$

Como siempre, una imagen vale más que mil palabras: si puedes deducir el significado del derivado direccional de este .gif que encontré en línea, entonces puede que no necesites leer lo que tengo que decir. Espero que la animación ayude de cualquier manera.

Cabe destacar que el pequeño segmento verde en la base de la figura en esta animación está destinado a representar el valor del gradiente de la función en el punto dado.

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Deje que $ \mathbf {v} \in\mathbb {R}^{2}$ ser un vector unitario, considerado como un vector en la $(x,y)$ -avión en $ \mathbb {R}^{3}.$ El vector $ \mathbf {v}$ determina un plano único $ \Pi = \Pi ( \mathbf {v})$ que contiene el origen, el punto $(0,0,1)$ y $ \mathbf {v}$ en sí mismo. Por ejemplo, si $ \mathbf {v}= \begin {pmatrix}1 \\0\end {pmatrix}$ entonces el avión $ \Pi $ es el $y=0$ avión, es decir, el $(x,z)$ -avión. (Dibuja un boceto para asegurarte de que te sientes cómodo con esta idea; si crees que lo he explicado mal, por favor pregunta.)

Queremos considerar este mismo plano, pero "pasar por $ \mathbf {x}$ ", es decir, queremos considerar que el avión $ \mathbf {x}+ \Pi = \{ \mathbf {x} + \mathbf {p}: \mathbf {p} \in\Pi\ }.$ Todo lo que hemos hecho es tomar el avión $ \Pi ,$ que pasó por el origen, y lo movió físicamente para que el punto en $ \Pi $ que anteriormente estaba en $(0,0,0)$ está ahora en $ \mathbf {x}.$

Considere el derivado direccional de $f \colon\mathbb {R}^{2} \to\mathbb {R}$ en $ \mathbf {x} \in\mathbb {R}^{2}$ en la dirección de $ \mathbf {v}.$ Su valor es igual al valor del límite: $$ \lim_ {h \to0 } \frac {f( \mathbf {x}+h \mathbf {v})-f( \mathbf {x})}{h}.$$ Esto puede tomarse como la definición de la derivada direccional; en particular, la expresión anterior resulta ser igual a $ \nabla {f} \cdot\mathbf {v}.$ [Nota: Esta igualdad se mantiene sólo porque $ \mathbf {v}$ es un unidad vector. Si $ \mathbf {v}$ no es un vector unitario, entonces necesitamos introducir un factor de escala para tener en cuenta esto].

Considere el gráfico de $f,$ es decir, el conjunto $$ \Gamma = \Gamma (f) = \{(x,y,z) \in\mathbb {R}^{3}: z=f(x,y)\}.$$ Esta es (más o menos) una superficie en $3$ - el espacio. Si miramos los puntos donde el gráfico de $f$ intersecta $ \mathbf {x}+ \Pi ,$ entonces obtenemos una curva en el espacio, que llamaremos $ \gamma = \gamma (f, \mathbf {v}) = \Gamma\cap ( \mathbf {x}+ \Pi ).$

Podemos imaginar el $z$ -eje en $ \mathbb {R}^{3},$ que está contenida en $ \Pi ,$ junto con la línea $ \ell = \{k \mathbf {v}:k \in\mathbb {R}\},$ definiendo un sistema de coordenadas en $ \Pi $ El eje vertical viene dado por el $z$ -y el eje horizontal viene dado por $ \ell ,$ con $0$ en el origen y los valores en $ \ell $ aumentando en la dirección de $ \mathbf {v}.$

Es decir, podemos imaginar la curva $ \gamma $ como si fuera el gráfico de alguna función $ \mathbb {R} \to\mathbb {R},$ excepto que en lugar de dibujar este gráfico en el habitual $(x,y)$ -avión en el que lo estamos dibujando $ \mathbf {x}+ \Pi. $

La expresión para la derivada direccional dada como límite le está diciendo que el valor de la derivada direccional (de $f$ en $ \mathbf {x}$ en la dirección de $ \mathbf {v}$ ) es la pendiente, bajo el sistema de coordenadas que he descrito anteriormente, de la línea que está contenida en $ \mathbf {x}+ \Pi $ y tangente a la curva $ \gamma ,$ es decir, "la pendiente de la línea tangencial" en un plano y sistema de coordenadas apropiado.

Answer 2

Digamos que tenemos $f: \Bbb R^n \to\Bbb R$ , a $v \in\Bbb R^n$ vector unitario y un punto $x_0 \in\Bbb R^n$ .

Entonces mira el gráfico de $f$ en un espacio unidimensional superior. $$ \Gamma_f :=\ \{({ \bf x}, f({ \bf x}))\, \mid\ ,{ \bf x} \in\Bbb R^n \}\ \subseteq\ \Bbb R^{n+1}$$ Deje que $e_{n+1}$ ser el último elemento de la base estándar de $ \Bbb R^{n+1}$ (eso es, $e_{n+1}=(0,0, \dots ,0,1)^T$ ).

El derivado direccional $ \partial_vf (x_0)\ = \nabla f(x_0) \cdot v$ es el pendiente de la línea tangente de ( $ \Gamma_f $ se intersectó con el plano 2d planeado por $v$ y $e_{n+1}$ ).

En otras palabras, tomar valores de $f$ sólo sobre la línea de dirección $v$ que contiene $x_0$ .