Demostrando que un elemento de un grupo dado tiene un orden infinito

Question

Me da el siguiente grupo: $$G = \langle x_1,x_2,x_3 | x_1^2 = x_2^2 = x_3^2 = e, \langle x_1, x_2 \rangle = \langle x_2, x_3 \rangle = e \rangle,$$ donde $\langle a,b \rangle = e$ es el triple relación, lo que significa que $$aba = bab.$$

Quiero demostrar que el elemento $x_1 x_3 x_1 x_2$ tiene orden infinito. A mí esto me parece bastante trivial, ya que (intuitivamente hablando) el triple de relaciones en $G$ puede reducir el número de generadores en $(x_1 x_3 x_1 x_2)^n$.

Sin embargo, cuando tratando de demostrar esta formalmente, no pude terminar la prueba. He intentado utilizar la inducción, jugando con la uniformidad del número de los generadores $x_1, x_2, x_3$ que aparecen en el poder de este elemento, pero sin éxito.

Answer 1

Este es un grupo de Coxeter.

Deje$a = x_1x_2$ y$b = x_2x_3$. Luego, el subgrupo$H:=\langle a,b \rangle$ tiene el índice$2$ en$G$ y tiene la presentación$\langle a,b \mid a^3=b^3=1 \rangle$. Esa es solo una instancia de un resultado general para los grupos de Coxeter, pero podría probarlo por cálculo directo en este ejemplo.

Así que$H$ es un producto gratuito de los grupos cíclicos$\langle a \rangle$ y$\langle b \rangle$ del pedido$3$. Su elemento es$aba$ y$(aba)^n = a(ba^2)^{n-1}ba \ne 1$.