Valores de$a$ para los cuales$(a+4)x^2-2ax+2a-6 <0$ para todos$x \in R$

Question

¿Cómo podemos encontrar todos los valores de$a$ para los cuales se satisface la desigualdad$(a+4)x^2-2ax+2a-6 <0$ para todos$x \in R$?

Para la condición dada,$D >0$, por lo tanto,$ (-2a)^2-4(2a-6)(a+4) >0$. Resolviendo para$a$, obtengo$(a+6)(a-4) <0$, pero la respuesta es$(-\infty, -6]$, que no es mi respuesta.

Answer 1

La forma cuadrática$(a+4)x^2-2ax+2a-6=\begin{bmatrix} x & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a+4& -a \\ -a & 2a-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ 1\end{bmatrix}$

Entonces, si desea que la forma cuadrática sea negativa para todos los$x$, necesita un% definido negativo $\begin{bmatrix}a+4& -a \\ -a & 2a-6\end{bmatrix}$. Según el criterio de Slvester , esto implica$a^2+2a-24<0=(a+6)(a-4)<0$ y $a<-4$. Juntas, estas condiciones significan$a\in(-\infty,-6)$.

Answer 2

Considere las familias de funciones cuadráticas$f_a(x)=(a+4)x^2-2ax+2a-6 $ que necesitamos para encontrar funciones con su gráfica debajo de$x$ axis estas funciones tienen un máximo si$a+4<0$ y no intersectan el$x$ axis si son discriminantes es negativo$D<0$, así que tenemos que encontrar una solución de sistema de desigualdades

$$ \begin{matrix} a+4<0\\ D=4a^2-4(a+4)(2a-6)<0 \end {matriz} $$

$$ \begin{matrix}a<-4 \\ 4a^2-8(a+4)(a-3)<0 \end {matrix} $$$$\begin{matrix}a<-4 \\a^2-2a+24<0\end{matrix}$ $$$\begin{matrix}a<-4 \\a^2+2a-24>0\end{matrix}$ $$$\begin{matrix}a<-4\\a^2+6a-4a-24>0\end{matrix}$ $$$\begin{matrix}a<-4,\\(a-4)(a+6)>0\end{matrix}$ $$a+6<0\iff a\in(-\infty,-6)$ es la solución