¿Cuál es la relación entre la homología y la teoría de grafos? ¿Podemos formar complejos simples a partir de un gráfico $G$ y computar sus grupos de homología? ¿Hay algún resultado práctico al observar la homología de los complejos simples formados a partir de un gráfico?
Respuestas
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Hay un montón de interesantes complejos simples que uno puede crear a partir de un gráfico. Jakob Jonsson escribió un libro llamado "Complejos simplificados de gráficos", que definió una plétora de ellos. Uno de mis complejos favoritos es el complejo de independencia. El conjunto de vértices es el mismo que el del gráfico, y hay un simplex $[v_0, \ldots ,v_n]$ siempre que ningún par de los vértices $v_0, \ldots ,v_n$ yacer en un borde. Es un problema fascinante calcular la homología incluso para gráficos simples. Por ejemplo, me encantaría conocer la homología del complejo de independencia para el esqueleto 1 del cubo n-dimensional, pero esto parece ser un problema difícil. Relacionado con el complejo de independencia está el llamado complejo Theta, que es "Alexander dual" en el sentido de la topología combinatoria. Ver mi papel con Oliver Thistlethwaite, donde nos mojamos los pies analizando la homología del complejo theta de k-skeleta de cubos.
Mientras que estoy conectando mi propio trabajo, hay otra noción, llamada homología de gráficos, en la que se construye un complejo de cadena algebraica cuyos generadores son clases de equivalencia de gráficos decorados. El operador de frontera se define normalmente por la contracción de los bordes de un gráfico de uno en uno. Por lo que sé, esto fue considerado por primera vez por Kontsevich. Karen Vogtmann y yo damos una detallada exposición de varios tipos de homología de gráficos aquí.
garethm
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Mira a ver si puedes encontrar una copia de Massey - "Un curso básico de topología algebraica". La sección VIII.3 es "Homología de Gráficos Finitos"
También Hatcher tiene algunas cosas - afirma que un gráfico es un complejo de CW unidimensional, y de hecho es posible tomar los grupos de homología.
He aquí un resultado de aspecto agradable de Massey (citado textualmente)
Deje que $(X,X_0)$ ser un gráfico finito y regular. Luego $H_q(X)=0$ para $q>1,H_1(x)$ es un grupo abeliano libre y $ \mathrm {Rank}(H_0(x))- \mathrm {Rank}(H_1(x)) = \mathrm {Euler \ Characteristic}$ (donde aquí la característica de Euler es $V-E$ )
Igor Cheremushkin
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Además de la respuesta de Qwirk: el resultado es en realidad bastante fácil de probar.
Deje que $G$ ser un gráfico conectado (de lo contrario, considere sus componentes conectados). Considere un árbol de expansión $T$ de $G$ y dejar $n$ ser el número de bordes que no están en $T$ . Es una fácil aplicación del teorema de Van Kampen para mostrar que $ \pi_1 (G,x_0) \cong F_n$ es el grupo libre de rango $n$ . Por lo tanto es $H_1(G; \mathbb Z) \cong \mathbb Z^n$ ( $H_1$ es la abelianización de $ \pi_1 $ ).
Ahora, ya que $T$ es un árbol que debemos tener $$E - n = V - 1 \implies E - V = n - 1 = \mbox {rk}(H_1(G)) - \mbox {rk}(H_0(G))$$ donde $H_0(G) \cong \mathbb Z$ porque el gráfico está conectado.
Desde $G$ es un CW unidimensional - los grupos de homología más altos son triviales.
