En esta respuesta de una pregunta de la mina, el usuario de Cosecha de Tomate dio un buen argumento que de alguna manera muestra que
$$\int_{\substack{t+s\leqslant x \\ t,s \geqslant 0}} f'(t)f'(s)dtds \asymp f(x)^2.$$
Yo en realidad mejor, esta declaración (bajo la hipótesis de mi pregunta) y concluyó que, de hecho, es asintótica a $C\cdot f(x)^2$ para algunos positiva constante real $C$, pero no estoy seguro de si que al lado de el punto de mi pregunta aquí o no.
Estoy tratando de estimar $\sum_{k\leqslant n} f'(k)f'(n-k)$ $C^0$ disminución $f'$, como $f'(x) = 1/\log{x}$ o $x^{-1},x^{-1/2},x^{-1/2}\log{x}$, etc. A diferencia del caso de $\sum_{k\leqslant n} f'(k)$, donde el uso de la integral como una estimación es casi directa, creo, algo así como
$$ \sum_{k\leqslant n} f'(k)f'(n-k) \overset{?}\sim \int_{0\leqslant t\leqslant n} f'(t)f'(n-t)dt \tag{1}$$
debe ser cierto, pero yo no era capaz de demostrar. Así, todavía en que el pensamiento, la integración aquí está produciendo en parte de la frontera de un triángulo, el mismo triángulo de la integración en mi pregunta anterior que he citado anteriormente! Así que pensé en tratar de relacionar las dos preguntas, el uso de algo como Stokes o de Reynolds de transporte teorema, con el fin de obtener
$$\int_{0\leqslant t\leqslant x} f'(t)f'(x-t)dt \overset{?}\approx \frac{d}{dx}\int_{\substack{t+s\leqslant x \\ t,s \geqslant 0}} f'(t)f'(s)dtds \overset{?}\approx f'(x)f(x) \tag{2}.$$
Así que lo que estoy preguntando es: ¿hay una manera de formalizar (1) y (2), o al menos uno de ellos? Y si no (o incluso si no), no hay otra manera (una más fácil, preferiblemente jaja) para mostrar el estado de la cuestión? En el peor de los casos, un contraejemplo será bienvenido jajaja
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En cuanto a (1), puede utilizar la integral de convergencia de la prueba: si $f'$ disminuye no sólo hacia la $\infty$, pero también hacia la $-\infty$, e $f'$ no cambia de signo, entonces $f'(\cdot) \space f'(n - \cdot)$ es positivo la disminución de la función de $\cdot$, lo que muestra que $\sum \limits _{k=1} ^n = \sum \limits _{k=1} ^\infty - \sum \limits _{k=n+1} ^\infty$ se comporta como $\int \limits _1 ^\infty - \int \limits _{n+1} ^\infty = \int \limits _1 ^n$.
En cuanto a (2), la integral en el medio plazo puede ser reescrito (usando el teorema de Fubini) como $\int \limits _0 ^x f'(s) \int \limits _0 ^{x-s} f'(t) \Bbb d t \Bbb d s$. Derivando con respecto a $x$ uno se:
$$ f'(x) \int \limits _0 ^0 f'(t) \Bbb d t - f'(0) \int \limits _0 ^x f'(t) \Bbb d t \cdot 0'+ \int \limits _0 ^x f'(s) \Big( f'(x-s) - f'(0) \cdot 0'\Big) \Bbb d s = \int \limits _0 ^x f'(s) f'(x-s) \Bbb d s ,$$
es decir, usted obtendrá la primera igualdad de (2) (y es la verdadera igualdad, no asintótico de la conducta).
(Una nota sobre la derivación con respecto a $x$ si usted se siente desconcertado:
$$\frac {\Bbb d} {\Bbb d x} \int \limits _{f(x)} ^{g(x)} F(x,t) \Bbb d t = F \big(x, g(x) \big) g'(x) - F \big(x,f(x) \big) f'(x) + \int \limits _{f(x)} ^{g(x)} \frac {\partial F} {\partial x} (x, t) \Bbb d t ,$$
es decir, que se derivan de acuerdo a una regla similar a la de Leibniz, producto de la regla: en primer lugar, se derivan de la integral y mantener el integrando sin cambios, próximo a mantener la integral sino que derivan el integrando.)
