Sea$\{B_t:t\in [0,1]\}$ el movimiento browniano unidimensional estándar en el intervalo de la unidad cerrada. Arreglar$\gamma\in (0,1/2)$. Es bien sabido que hay una variable aleatoria positiva$K\equiv K(\gamma)$ tal que para cualquier par$s,t\in [0,1]$ tenemos $$ | B_t-B_s | \ leq K | ts | ^ {\ gamma} \ qquad \ text {as} $$ Me gustaría saber si se puede elegir$K$ para que$\mathbb{E}[K]<+\infty$.
Respuesta
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En el texto Brownian Motion de R. Schilling L. Partzsch, se puede ver una demostración del hecho de que, para% fijo$\gamma\in(0,1/2)$, la variable aleatoria $$ K: = \ sup \ {| B_t-B_s | / | ts | ^ \ gamma: 0 \ le s, t \ le 1 \} $$ tiene momentos finitos de todas las órdenes; ver Teorema 10.1 en la página 150.
