Cálculo de una expectativa para la 'parte' de un vector

Question

Deje que$x$ sea vector en$R^n$. Deje que$\pi(⋅)$ sea una permutación en el conjunto$\{1,\ldots,n\}$ con una distribución uniforme. Dejar $|m|\leq n, m \in Z$.

Calcule $$ E \ left | \ sum_ {i = 1} ^ mx _ {\ pi (i)} \ right | ^ q, \ quad q \ geq 2. $$

Gracias.

Answer 1

Si$n\geqslant2$ y$q=2$, el resultado es $$ \ frac {m (nm)} {n (n-1)} \ sum_ {k = 1} ^ nx_k ^ 2 + \ frac {m (m-1)} {n (n-1)} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ nx_k \ right) ^ 2. $$ Una expansión similar (pero más tediosa) es posible para$q=4$ y más generalmente para cada entero par$q$.