¿Es todo espacio vectorial base para $\mathbb{R}$ sobre el campo $\mathbb{Q}$ un conjunto no medible?

Question

La existencia de subconjuntos de la recta real que no son medibles por Lebesgue puede argumentarse utilizando el axioma de elección. Por ejemplo, definamos una relación de equivalencia sobre $[0, 1]$ por

$a \thicksim b$ si y sólo si $a - b \in \mathbb{Q}$

y que $S \subset [0, 1]$ contienen exactamente un representante de cada clase; $S$ no es medible por Lebesgue.

Ahora, el Axioma de Elección también nos da que todo espacio vectorial tiene una base, y en particular $\mathbb{R}$ tiene una base sobre el campo $\mathbb{Q}$ . ¿Puede un argumento similar (pero supuestamente mucho más complicado) demostrar que toda base de este tipo es un conjunto no medible?

Answer 1

En el artículo de Dorais, Filipów y Natkaniec " Sobre algunas propiedades de las bases de Hamel y sus aplicaciones a las funciones medibles de Marczewski " (también disponible como preimpresión aquí ) los escritores señalan que es demostrable que existe una base Hamel medible.

Se refieren a " Introducción a la teoría de las ecuaciones y desigualdades funcionales: La ecuación de Cauchy y la desigualdad de Jensen "por Marek Kuczma. En una rápida búsqueda en Google Books, parece que esto se comenta como corolario de los capítulos anteriores al final de página 282 .

En el Corolario 11.4.3 ( p.288 ) se afirma que también existen bases de Hamel no medibles, así como una medible (cuya medida ha de ser cero).

Answer 2

He aquí algunas pruebas breves: Una forma fácil de ver que hay una base nula de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}$ es al observar que $C + C = [0, 2]$ donde $C$ es el conjunto habitual de Cantor. La razón por la que una base de Hamel no puede ser analítica también es fácil: si $B$ es una base analítica de Hamel, entonces el $\mathbb{Q}$ -Volumen lineal de $B$ sin un elemento es analítico y no medible, lo cual es imposible. Finalmente, por inducción transfinita se puede construir una base de Hamel $B$ que cumple con todos los conjuntos perfectos. Pero entonces $B$ tiene medida exterior completa y medida interior nula por lo que no es medible.