Límite de logaritmos sin l'Hospital

Question

Este es mi primer post, así que espero que perdonen cualquier error de formato. Esta es una tarea de un examen de formación, puedo añadir que todavía no hemos introducido l'Hospital o derivados. Tenemos que determinar el siguiente límite:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln(2n^n)-\ln(\sqrt n)}{\ln(3n^{2n}) + \ln(\sqrt n)}$$

Estoy atascado en esto desde hace tiempo, he intentado aplicar las reglas de la suma de ln, pero no encuentro la forma de resolverlo. Agradezco los consejos.

Answer 1

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln(2n^n)-\ln(\sqrt n)}{\ln(3n^{2n}) + \ln(\sqrt n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n \ln{n} + \ln{2} - \frac{1}{2} \ln{n}}{2 n \ln{n} + \ln{3} + \frac{1}{2} \ln{n}} $$

Obsérvese que, tanto en el numerador como en el denominador, el $n \ln{n}$ términos dominan a los demás en este límite. Podemos ignorar los dos últimos términos en cada uno de los numeradores y denominadores en este límite, y el resultado es

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln(2n^n)-\ln(\sqrt n)}{\ln(3n^{2n}) + \ln(\sqrt n)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ n \ln{n}}{2 n \ln{n}} = \frac{1}{2} $$

Para ser más específicos, podemos factorizar el $n \ln{n}$ términos fuera:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n \ln{n} + \ln{2} - \frac{1}{2} \ln{n}}{2 n \ln{n} + \ln{3} + \frac{1}{2} \ln{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{\ln{2}}{n \ln{n}} - \frac{1}{2 n}}{2+\frac{\ln{3}}{2 n\ln{n}} + \frac{1}{2 n}} $$

y ver el resultado.

Answer 2

1. El menos primo $p$ tal que $p+2n$ también es primo: A020483 $(n)$ y el número más pequeño $x$ tal que $\sigma(x+2n) = \sigma(x)+2n$ : A054906 $(n)$ .

2. El primo más pequeño en el que aparece un dígito $n$ tiempos: A084673 $(n)$ y el primo más pequeño que contiene exactamente $n$ $1$ 's: A037055 $(n)$ , para $n>1$ .

3. El número de subpalabras de longitud $n$ en la palabra infinita generada por $a \to aab, \ b \to b$ : A006697 $(n)$ y el número máximo de subcadenas distintas no vacías de cualquier cadena binaria de longitud $n$ más uno: A094913 $(n)+1$ .

4. El número de valores distintos tomados por ${\omega}$ ^ ${\omega}$ ^ ${\dots}$ ^ ${\omega}$ (con $n$ $\omega$ y paréntesis insertados en todas las formas posibles) donde $\omega$ es el primer omega ordinal transfinito: A199812 $(n)$ y el número de árboles enraizados no etiquetados con un máximo de $n$ nodos A087803 $(n)$ , menos $n$ más uno: A255170 $(n)$ .

5. El número de grupos de permutación transitiva de grado $n$ : A002106 $(n)$ se conjetura que es el número de grupos de Galois para polinomios irreducibles (sobre $\mathbb{Q}$ ) del orden $n$ (estos grupos son transitivos). Es un caso particular del Problema de Galois inverso .