El conjunto de matrices de forma$A^3+B^3$ con multiplicación es un monoide

Question

Consideremos el conjunto \begin{equation*} M=\{A^3+B^3|A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\} \end{ecuación*} para $n\geq 1$. Demostrar que $(M,\cdot\;)$ es un monoid.

Este es un problema que he encontrado en la sección de "extras " problemas" en el rumana de la revista Gazeta Matematica, dado como un gran problema de la escuela.

Como se mencionó en el comentario, debemos demostrar que para cualquier matrices complejas $A, B, C, D$, uno necesita escribir

$$(A^3 + B^3)(C^3+D^3)$$

como $E^3 + F^3$ para algunas matrices complejas $E, F$. Incluso en el caso de $n=1$, yo no puedo algebraicamente encontrar$e, f\in \mathbb C$, de modo que $$(a^3+ b^3)(c^3+d^3) = e^3+f^3$$ para cualquier $a, b, c, d\in \mathbb C$.

Answer 1

Sea$X$ una matriz cuadrada compleja. Entonces$X-tI$ es invertible para algunos$t>0$. Como cada matriz compleja invertible tiene un logaritmo de matriz,$X=A^3+B^3$, donde$A=\exp(\frac13\log(X-tI))$ y$B=t^{1/3}I$. Por lo tanto,$M=\mathcal M_n(\mathbb C)$. Es decir, la multiplicación de matrices se cierra en$M$. La asociatividad de la multiplicación de matrices y la existencia del elemento de identidad deben ser claras.