Demostrando$7|13\cdot 6^{n}+8\cdot 13^{n}$ para todos los números naturales.

Question

Me gustaría comprobar si la prueba es correcta. La hoja de respuesta se utiliza mucho más intuitivo y lógico, pero creo que la mía es correcto también.

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Para probar: $7|13\cdot 6^{n}+8\cdot 13^{n}$ para todos los números naturales

Prueba: vamos a proceder por inducción y mostrar el caso base se mantiene. $13+8=21 $. Desde el 7 divide a las 21 en el caso base se mantiene.

Asumimos $7|13\cdot 6^{m}+8\cdot 13^{m}$ y necesitamos demostrar $7|13\cdot6^{m+1}+8\cdot 13^{m+1}$.

Ya, $7|13\cdot 6^{m}+8\cdot 13^{m}$, tenemos, $13\cdot 6^{m}+8\cdot 13^{m} =7x, \space x \in \mathbb{N}$.

Podemos reescribir $13\cdot 6^{m+1}+8\cdot 13^{m+1}$ como $6(13\cdot 6^m)+13(8\cdot 13^m)$ y aviso, $13\cdot 6^m=7x-8\cdot13^m$.

Sustituimos y encontrar,

$6(7x-8\cdot13^m)+13(8\cdot13^m)=42x-48\cdot13^m+104\cdot13^m = 42x+56\cdot13^m=7(6x+8\cdot13^m)$

Desde $6x+8\cdot13^m \space \in \mathbb{N}$

$\\ \therefore $ Por el principio de inducción matemática, $7|13\cdot 6^{n}+8\cdot 13^{n}$ para todos los números naturales $n \space \blacksquare$.

Answer 1

Es correcto, pero:

• Cuando escribiste que "Reescribimos $13\cdot 6^{m}+8\cdot 13^{m}$ como $6(13\cdot 6^m)+13(8\cdot 13^m)$ ", lo que quisiste decir fue "Reescribimos $13\cdot 6^{m+1}+8\cdot 13^{m+1}$ como $6(13\cdot 6^m)+13(8\cdot 13^m)$ ".
• No necesita calcular $6\times8$ y $13\times8$ . Tenga en cuenta que \begin{align}6(7x-8\times13^m)+13(8\times13^m)&=7\times(6x)+(-6+13)\times(8\times13^m)\\&=7\times(6x+8\times13^m).\end {align}

Answer 2

Por tu comentario, nos simplificar su inductivo prueba para resaltar la relación con la congruencia basada en pruebas. Su prueba puede ser visto como una escala por $\color{#c00}{13 = 6+7}\,$ la hipótesis de la ecuación de $\,P(n)$

$$\begin{align} (\color{#c00}{6+7})\,\ {\rm times}\,\ (\overbrace{a\,13^{\large n}\ +\ \ b\,6^{\large n}\ \!=\ 7k}^{\Large P(n)})\qquad\quad&\\[.3em] \Longrightarrow\ \ \underbrace{a\,13^{\large n+1} + b\,6^{\large n+1} =\, 7(k-b\,6^n)}_{\Large P(n+1)} \end{align}\qquad\qquad$$

Su aritmética esencia es más clara $\bmod 7\,$ usando congruencias y la Congruencia de los Productos de la Regla

$$\begin{align} \color{#c00}{13}\,&\equiv\, \color{#c00}6\\[.3em] \times\ \ \quad a\,13^{\large n}&\equiv -b\,6^{\large n}\quad \qquad P(n)\\[1em] \hline \Rightarrow\ a\,13^{\large n+1}&\equiv -b\,6^{\large n+1}\qquad P(n+1) \end{align}\quad \qquad$$

donde $\,a,b = 8,13$ en su caso. En esta respuesta voy a explicar en detalle cómo el inductivo pruebas no son sino casos especiales de las pruebas de la Congruencia de los Productos de la Regla. Como en el anterior, es mucho más claro para el uso de la regla como un lexema (llamada por nombre) en lugar de la repetición de su prueba en línea (llamada por valor) en el caso especial en la mano.

Answer 3

ps

Answer 4

Reescribir $13\cdot 6^n+8\cdot 13^n$ en base $7$: $$16\cdot 6^n+11\cdot 16^n$$

Tenga en cuenta que $6\cdot 6=51$ en base $7$.

El primer plazo termina con $1$ si $n$ es incluso y termina con $6$ si $n$ es impar. Por el contrario, el segundo término termina con $1$ si $n$ es incluso y termina con $6$ si $n$ es impar. Por lo tanto, la suma termina con $0$.