Prueba de que la cardinalidad de los primos es la cardinalidad de los números naturales

Question

Necesito demostrar que la cardinalidad del conjunto de los números primos es la misma que la del conjunto de los números naturales. Esta es la prueba que se me ocurrió:

$\mathbb{P}\subseteq \mathbb{N}\Rightarrow |\mathbb{P}|\le |\mathbb{N}|\Rightarrow\exists f:\mathbb{P}\to \mathbb{N}$ tal que $f(x)=x\Rightarrow f$ es una inyección.
Desde $\mathbb{P}\subseteq \mathbb{N}$ entonces $\exists g:\mathbb{P}\to \mathbb{N}$ tal que $g(n)$ da el $n+1^{th}$ de primera. Por lo tanto, $g$ es una inyección. Por el Teorema de Schroeder-Bernstein, entonces $|\mathbb{P}|=|\mathbb{N}|$

Sin embargo, creo que hay un problema; el simple hecho de saber que no hay un número finito de primos no es suficiente para saber que la frase " $n+1^{th}$ primo" tiene algún sentido.

¿Cómo puedo corregir esta prueba? ¿Necesito una nueva función? $g$ ¿o se puede redactar con más cuidado para evitar este problema? Si todavía puedo utilizar $g$ ¿Qué más tengo que mostrar?

Answer 1

Supongo que cuando dices números primos, te refieres a números primos positivos en $\Bbb Z$ .

El conjunto de números primos $\Bbb P$ está bien ordenado, porque es un subconjunto del conjunto de los números naturales. Es decir, cualquier subconjunto no vacío de $\Bbb P$ tiene un mínimo. Definir $\Bbb P_0=\Bbb P$ y $$\Bbb P_{n+1}=\Bbb P_n-\{\min \Bbb P_n\}$$ Ahora defina el $n+1$ -número primo como el mínimo de $\Bbb P_{n}$ .

Answer 2

Todo lo que necesitas es utilizar dos hechos simples: uno es que hay infinitos primos, y el segundo hecho es que cada conjunto no vacío de números naturales tiene un mínimo. Así que mira el conjunto de números primos $\mathbb{P}$ . Es un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ , por lo que tiene un mínimo. Nombra el elemento mínimo $p_1$ . Ahora mira $\mathbb{P}\setminus \{p_1\}$ . Sigue siendo un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ (si estuviera vacío entonces obtendríamos que sólo hay un primo, lo cual es una contradicción) por lo que tiene un mínimo, llámalo $p_2$ . Ahora mira $\mathbb{P}\setminus\{p_1,p_2\}$ . Sigue siendo un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ para que tenga un mínimo, llámalo $p_3$ . Continúe así y demostrará por inducción que la frase " $n+1$ El "prime" en realidad tiene sentido para todos $n\in\mathbb{N}$ . Y luego simplemente definir la misma función $g$ como antes.

Answer 3

La prueba es completa y el término $n+1^{st}$ primo tiene mucho sentido porque el conjunto de los primos es un conjunto totalmente ordenado en el que funciona el principio de buen orden. Por lo tanto, la prueba no necesita ninguna alteración.

No obstante, si desea añadir comentarios a la prueba para aclarar los puntos mencionados, puede hacerlo.