Deje que $A$ ser un anillo conmutativo con identidad. Dados dos submódulos $R,S$ de $A^n(n \in\Bbb N)$ y supongamos $S$ se genera finamente, si existe un isomorfismo de $A$ -módulos $A^n/R \simeq A^n/S$ es $R$ generada finamente?
Respuesta
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user263190
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Mi ejemplo (abajo) estaba equivocado, malinterpreté lo que pedía la OP. Lo dejaré para que otros no se confundan como yo.
No: Dejar $A = \mathbb {C}[x_1, x_2, \ldots , x_n, \ldots ]$ ser el anillo polinomio en infinitas variables sobre $ \mathbb {C}$ considerado como un módulo sobre sí mismo (es decir, el $n$ en tu pregunta es sólo $1$ ). Deje que $R$ ser el submódulo que genera las variables de índice par $x_{2i}$ y dejar $S = \{0\}$ . Luego $A/R \cong A/S \cong A$ y $S$ se genera finamente, pero $R$ no se genera de forma definitiva.
