¿Por qué se define la deformación infinitesimal sobre los anillos de Artin?

Question

Me pregunto ¿cuál es la motivación para la definición de deformaciones infinitesimales a través del espectro de Artinian anillos, me.e los anillos que tienen un número finito de primos máxima ideales.

He estado tratando de entender la relación entre las deformaciones y la functorial descripción de los módulos, me.e como como un functor de, digamos, esquemas, conjuntos. Sin embargo, esto se está volviendo difícil porque no entiendo la motivación en la definición (infinitesimal) deformaciones a ser más Artinian anillos

Answer 1

Me encontré a "de Primaria de la deformación de la teoría" en el FGA explica muy útil en el aprendizaje de algunos conceptos básicos de la teoría de la deformación.

En la siguiente cada vez que dicen local artinian anillo realmente me refiero local artinian $k$-álgebra.

La motivación básica proviene del hecho de que el espacio de la tangente de un esquema de $X$ a un punto de $x\in X$ puede ser descrito como el espacio vectorial consta de mapas de $\operatorname{Spec} k[t]/(t^2) \rightarrow X$ el envío de la subyacente punto cerrado a $x$. Ahora si $X$ es algo de espacio de moduli en cuanto a la parametrización ciertos objetos $S$ , a continuación, un mapa de $\operatorname{Spec} k[t]/(t^2)\rightarrow X$ es equivalente a dar una primera orden de deformación $S$ sobre $\operatorname{Spec}k[t]/(t^2)$.

En general, el local comportamiento de $x\in X$ puede ser entendido a través de la finalización de la $\hat{\mathcal{O}_{X,x}}$ de el anillo local $\mathcal{O}_{X,x}$. Por ejemplo, $\mathcal{O}_{X,x}$ es regular iff $\hat{\mathcal{O}_{X,x}}$ es regular y $\dim_k \mathcal{O}_{X,x} = \dim_k \mathcal{O}_{X,x}$. Ahora $\hat{\mathcal{O}_{X,x}}$ es algo que puede ser entendido mediante la comprensión de los mapas de local artinian anillos de a $X$ asignación de los subyacentes punto cerrado a $x\in X$. En particular, la deformación del functor $D: (Loc/k) \rightarrow Sets$ envío local artinian anillos de $A$ para el conjunto de mapas de $\operatorname{Spec} A \rightarrow X$ la satisfacción de las anteriores es representable por $\hat{\mathcal{O}_{X,x}}$. Para la comprensión de las deformaciones de los objetos más local artinian anillos es equivalente a la comprensión de este functor, que es equivalente a la comprensión de $\hat{\mathcal{O}_{X,x}}$.

Un ejemplo concreto de cómo todo esto se utiliza para comprender el espacio de moduli es a través de la construcción de la tangente a-obstrucción de la teoría. La tangente-obstrucción de la teoría para una deformación functor $D$ (un functor de $(Loc/k) \rightarrow Sets$), consta de dos espacios vectoriales $V_1$ (el espacio de la tangente) y $V_2$ (obstrucción espacio) tales que

(1) cuando tiene una pequeña extensión $$0\rightarrow M \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow 0$$ es decir, $A,B$ son locales artinian anillos, y $\mathfrak{m}_B \cdot M = 0$, existe una secuencia exacta de los conjuntos de $$V_1\otimes_k M \rightarrow D(B) \rightarrow D(A) \stackrel{ob}{\rightarrow} V_2\otimes_k M$$

donde exactitud en $D(A)$ significa que si $ob(x) = 0$ para algunos $x\in D(A)$ entonces existe $x'\in D(B)$ la asignación a $x\in D(A)$ (es decir, si la obstrucción se desvanece, a continuación, usted puede levantar su deformación), y que la exactitud en $D(B)$ significa que $V_1\otimes_k M$ actúa transitivamente sobre las fibras.

(2) Si $M=k$, a continuación, $D(A)$ formas de un espacio afín bajo $V_1\otimes_k M$.

Es un hecho que si $R$ representa a $D$, a continuación, $\dim_k V_1 - \dim_k V_2 \le \dim R \le \dim_k V_1$. Como anteriormente si tu módulos problema es representable por un esquema de $X$, entonces la deformación functor por encima de $D$ es representable por $\hat{\mathcal{O}_{X,x}}$. Resulta que mientras que usted puede no saber lo que su esquema se parece (por ejemplo, esquema de Hilbert), muy a menudo no demasiado duro para construir $V_1,V_2$. Así que esto le permite deducir alguna información sobre el espacio de moduli en $x\in X$. Por ejemplo, la prueba de la existencia de racional curvas de pasar por ninguna de las $x\in X$, cuando se $X$ es suave proyectiva Fano (que se puede encontrar en, por ejemplo, Debarre "más dimensiones de la geometría algebraica") se basa en saber que algunos de los módulos espacio tiene dimensión positiva en algún momento, que se realiza mediante la comprensión de su tangente obstrucción de la teoría para dar un límite inferior.