¿Es posible construir$\Bbb R$ directamente desde$\mathcal{P}(\Bbb N)$

Question

Solemos construir $\Bbb R$ de Dedekind cortes. Es sorprendente para mí que $|\mathcal{P}(\Bbb N)|=|\Bbb R|$.

Es posible construir $\Bbb R$ directamente de $\mathcal{P}(\Bbb N)$ en lugar de $\Bbb N \to \Bbb Z \to \Bbb Q \to \Bbb R$? En esa construcción, se asocia un número real con un subconjunto de a$\Bbb N$ y adquirir familiar operaciones tales como suma, resta, multiplicación y división.

Answer 1

Esta construcción se encuentra en el derecho 'de estadio', al menos, ir de $\mathbb Z$ a $\mathbb R$ sin la necesidad de la construcción de $\mathbb Q$.

Una función de $f: \mathbb Z \to \mathbb Z$ es identificado, por su gráfica, con un subconjunto de a$\mathcal{P}(\Bbb Z \times \Bbb Z)$. Podemos definir una clase especial de funciones que respecto a la operación de adición en $\Bbb Z$ es de alguna manera, y luego, esas funciones pueden ser utilizados para construir $\Bbb R$.

Véase el artículo de wikipedia de la Construcción de la Z (Eudoxus de reales).