Patrones particulares de base de 10 dígitos en Collatz

Question

Nota: voy a utilizar la abreviatura RCF para la Reducción de Collatz Función.

La disposición de determinados dígitos producir un patrón en particular en la próxima iteración de la Reducción de Collatz Función. Antes de dwelving en el patrón, permite tener un resumen de la función.

La RCF sólo se aplica a un número impar, y se define como: $$R(n)=\frac{3n+1}{2^r}$$ where $r$ denotes the largest exponent of the largest power of two that divides $3n+1$. Denotar $i$ como $i$'th iteración de la función. También definen $r$ e $n\in\mathbb{Z_0^+}$.

Vamos con algunos ejemplos (los números iniciales son explícitamente elegido):

\begin{array}\hline R(23)\to35\to53\to5\to1 \\ R(27)\to...\to395\to593\to... \\ R(359)\to539\to809\to607\to... \\ R(3559)\to5339\to8009\to6007\to... \\ R(35559)\to53339\to80009\to60007\to... \\ \end{array}

Nota: estos son solo observaciones de la mina. Puede ver los patrones? Dígitos $3$, $5$ e $9$ son notables. $5$ e $3$ intercambiado lugares. $9$ está en el mismo dígito de posición. Sin embargo, en $R^i(n)$, los dígitos $9$ e $5$ no puede ser el primer dígito o de lo $R^{i+1}(n)$ no producirá el efecto deseado.

Q: estoy seguro de que estos patrones han sido investigados, en cualquier literatura acerca de estos detalles?

Cuando $R^i(n) = 539$ entonces $n=359$ para $i-1$. Esta iteración particular de la función parece que tiene una inversa. Puede haber ejemplos que yo no soy consciente de que el trabajo de otros números, pero no he encontrado ninguna. He visto estos números en otras secuencias, es decir, los números primos.

La siguiente fórmula se obtiene de los números primos donde $n$ se define por una secuencia que puede ser encontrado aquí:

$$\frac{320\cdot10^n+31}{9}$$

Set $n=7$

Esto se traduce en el número: $355555559$. Lo $n$ hemos establecido, el conde de $5$'s entre la $3$ e $9$ será igual a $n$.

Si ponemos esto en la RCF como entrada? Así llegamos $R^i(355555559)\to R^{i+1}(533333339)$.

No parece haber una relación entre el número de dígitos entre $5$ e $9$ y el de los números primos en la collatz función, pero el más importante y el dígito menos significativo podría tener?

Q: ¿hay alguna básico de matemáticas sobre este tema de los números Primos y Collatz? Estoy abierto a escuchar.

Answer 1

Aplicando sucesivamente $R(n)=\frac{3}{2^r}\cdot n + \frac{1}{2^r}$ a $n_0, n_1,...$

$n_1 = \frac{3}{2^{r_1}}\cdot n_0 + \frac{1}{2^{r_1}}$

$n_2 = \frac{3}{2^{r_2}}\cdot n_1 + \frac{1}{2^{r_2}} = \frac{3^2}{2^{r_1+r_2}}\cdot n_0+\frac{3^1}{2^{r_1+r_2}}+\frac{3^0}{2^{r_1}}$

nos encontramos con $n_i$ que es $i$ paso de $n_0$

$$n_i = \frac{3^i}{2^{r_1+r_2+...+r_i}}\cdot n_0+\frac{3^{i-1}}{2^{r_1+r_2+...+r_i}}+\frac{3^{i-2}}{2^{r_1+r_2+...+r_{i-1}}}+...+\frac{3^0}{2^{r_1}}$$

Nos pusimos $\delta$ (positivo), siendo las partes las que no dependen de la $n_i$ o $n_0$ simplificar:

$$\delta = \frac{3^{i-1}}{2^{r_1+r_2+...+r_i}}+\frac{3^{i-2}}{2^{r_1+r_2+...+r_{i-1}}}+...+\frac{3^0}{2^{r_1}}$$

Por lo tanto tenemos:

$$n_i = \frac{3^i}{2^{r_1+r_2+...+r_i}}\cdot n_0+\delta$$

y por establecimiento $j=r_1+r_2+...+r_i$ (Nota: $j\geq i$ ya que todos los $r_i\geq 1$)

$$n_i = \frac{3^i}{2^j}\cdot n_0+\delta$$

Ya que, obviamente, $$k\cdot3^i=\frac{3^i}{2^j}\cdot k\cdot2^j$$

Añadimos tanto en el lado izquierdo y ambos RHS y de esta fórmula $$(n_i+k\cdot3^i)=\frac{3^i}{2^j}\cdot (n_0+k\cdot2^j)+\delta$$ Esto significa que si usted sucesivamente se aplican $R(n)$ a $n_0$ hasta $n_i$, y si se aplica el mismo $R(n)$ (o debería decir la misma sucesivos $r_i$) $(n_0+k\cdot2^j)$, $(n_i+k\cdot3^i)$

Elementos de la sub-secuencia tendrá este aspecto: $$\{n_0+k\cdot2^j, n_1+k\cdot3^1\cdot2^{j-r_i}, n_2+k\cdot3^2\cdot2^{j-r_i-r_{i-1}},...,n_i+k\cdot3^i\}$$ e.g: Si usted toma $\{n_0=359, n_1=539, n_2=809,...,n_{i-1}=607, n_i=911\}$ y establezca $k=10^2$ e $2^j=2^5$, por encima de la sub-secuencia será:

$$\{359+3200, 539+4800, 809+7200,...,607+5400,911+8100\}$$ o $$\{3559, 5339, 8009,...,6007,9011\}$$ Usted puede hacer lo mismo con $n_0=3559...$ e $k=10^3$ (o si usted comienza con $n_0=359$, que acaba de establecer $k=10^2+10^3$). Nota: la configuración de $k=100, 1100, 11100, 111100, 1111100....$ conseguir sus diferentes sub-secuencias es probablemente la principal clave de este "dígito patrón de comportamiento.

$$$$ Tomando $k=10^n$ obtener su dígitos extra, pero ver a un "patrón de dígitos" usted no puede hacer eso con cualquier número. Mi conjetura es que $2^j$ debe ser de 2 dígitos, el primer dígito de $n_0$ debe ser el mismo que el primer dígito de $2^j$ y el segundo debe ser la suma de los 2 dígitos de $2^j$.

por ejemplo, $2^j=2^4=16$ -> $n_0$ empezar con un $1$ como $2^j$, y el segundo dígito debe ser $1+6=7$. Ahora bien, si establecemos $n_0=179$ (o 173 o 175...), y agregar a $1600$ a, obtendrá $1779$. Si añades $16000$ nuevo obtendrá $17779$...y si nos fijamos en los sucesores presentan el mismo "patrón de dígitos" comportamiento

por ejemplo, $2^j=32$ -> $n_0$ inicio con $3$ y el segundo dígito debe ser $3+2=5$ como $359$.

EDITAR: No se limita a 2 dígitos. Si usted toma $n_0=1421$ e $2^j=128$ funciona demasiado (1421+12800=14221....142221.....1422221.....), pero la lógica para encontrar trabajo número es un poco diferente.

Mi conjetura es que si usted encuentra un trabajo número $n_0$, $n_1$ se transforman de la misma manera como $k\cdot 2^j$ y presentan el mismo "patrón de dígitos", pero todavía tengo que comprobar esta parte

De todos modos, estos son casos particulares que presentan propiedades de la Collatz función Y las propiedades de la base decimal. No sé si usted puede conseguir nada de ella, o si hay algún enlace a los números primos. Sería interesante investigar.