Probar$\frac{2n+\sin(n)}{n+2}$ converge a 2.

Question

Aquí está mi intento.

Deje $\epsilon >0.$ entonces $N \geq \frac{5}{\epsilon}$ , con $n \geq N \implies$

$| \frac{2n+\sin(n)}{n+2} -2|=| \frac{2n+\sin(n)-2n-4}{n+2}|=| \frac{\sin(n)-4}{n+2}|= \frac{|\sin(n)-4|}{n+2} \leq \frac{5}{n+2} \leq \frac{5}{n} \leq \epsilon$

Answer 1

¡Buen trabajo!

Si no tienes que probar desde la definición:

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{2n + \sin n}{n+2} = \lim_{n \to \infty } \frac{2+ \frac{\sin(n)}{n}}{1+\frac{2}{n}}=2 \end{align}

Answer 2

Alternativamente, $$ \ frac {2n-1} {n +2} \ le \ frac {2n + \ sin (n)} {n +2} \ le \ frac {2n +1} {n +2} $$ y ambos límites van a $2$ como $n \to \infty$ .

Answer 3

Alternativamente,

PS

y el numerador de la fracción está delimitado mientras que el denominador aumenta hasta el infinito.