Paridad de suma de potencias de números impares.

Question

Recientemente, me encontré con este ejercicio:

Supongamos que $a$ e $b$ son números impares. Demostrar que sólo para un número finito de enteros positivos $j$ no $2^j$ brecha $a^j+b^j$.

Traté de resolverlo utilizando matemáticas básicas (es decir, congruencias módulo poderes de $2$), pero yo no podía probar la declaración. Teniendo en cuenta que se trata de algunos de matemáticas de secundaria de la competencia, creo que debe ser solucionable con muy poca formación matemática. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Supongamos $j=2k$. Desde $a,b$ son impares, $a^2,b^2$ e lo $a^{2k},b^{2k}$ 1 modulo 4, por lo $a^j+b^j\equiv2\bmod4$. Por lo tanto $4\nmid a^j+b^j$, y, en particular, $2^j\nmid a^j+b^j$.

Ahora supongamos $j$ es impar. Algebraicamente $$a^j+b^j=(a+b)(a^{j-1}-ba^{j-2}+\dots+b^{j-1})$$ El derecho de factor tiene un número impar de términos, cada uno de los cuales es un número impar (debido a $a,b$ ser impar), por lo que es impar. Así, por $2^j$ a dividir $a^j+b^j$ se debe dividir $a+b$. Para cualquier fija $a,b$, desde el $2^j$ es una función creciente, sólo hay finitely $j$ para que $2^j<a+b$, es decir, $2^j$ tiene una oportunidad para dividir a $a+b$, lo $a^j+b^j$.

En resumen, para cualquier $a,b$ hay sólo un número finito $j$ con $2^j\mid a^j+b^j$.