Lo que es una de las principales de la descomposición del ideal de la $I = \langle xy, x - yz \rangle$?

Question

Dado el anillo de $k[x,y,z]$ donde $k$ es un campo, y un ideal de a $I=(xy,x-yz)$, encontrar una descomposición primaria de $I$.

Traté de dibujar la gráfica de la variedad de $I$ y obtener una descomposición de la $(x,y)\cap(x,z)$ (los dos primeros ideales corresponde a la irreductible de los componentes de la variedad), pero al parecer estos dos ideales no son la principal descomposición de $I$, y no sé cómo solucionar este problema.

Realmente apreciaría si alguien me puede ayudar. thx

Answer 1

Sólo puede utilizar la geometría para encontrar la descomposición primaria si el ideal es realmente una de la intersección de primer ideales. En su caso, es cierto que $$ V(xy,x-yz) \;=\; V(x,y) \cup V(x,z) $$ pero $$ (xy,x-yz) \;\subsetneq\; (x,y) \cap (x,z). $$ Por ejemplo, $x\in (x,y)\cap (x,z)$, pero $x\notin (xy,x-yz)$.

En su lugar, la ideal es la intersección de dos de los principales ideales $$ (xy,x-yz) \;=\; Q_1 \cap Q_2 $$ donde los radicales de $Q_1$ $Q_2$ son los principales ideales que se han encontrado: $$ \sqrt{Q_1}=(x,y) \qquad\text{y}\qquad \sqrt{Q_2} = (x,z). $$ Para encontrar$Q_1$$Q_2$, se observa que la $$ (xy,x-yz) \;=\; (y^2z,x-yz), $$ desde $xy - y^2 z = y(x-yz)$. Ahora podemos factor de la $y^2z$: $$ (y^2z,x-yz) \;=\; (y^2,x-yz) \cap (z,x-yz) $$ Para probar esta ecuación, se observa que los tres ideales que contienen a $(x-yz)$. El cociente $k[x,y,z]/(x-yz)$ es isomorfo a $k[y,z]$, y obviamente $(y^2z)=(y^2)\cap (z)$$k[y,z]$, por lo que levantar de nuevo a $k[x,y,z]$ da la ecuación deseada.

Es fácil ver que $(y^2,x-yz)$ es primaria, y $(z,x-yz) = (x,z)$ es realmente privilegiada. Llegamos a la conclusión de que $$ Q_1 = (y^2,x-yz) \qquad\text{y}\qquad Q_2 = (x,z) $$

Answer 2

Si usted está planeando trabajar más en el anillo de la teoría, recomiendo la instalación de Macaulay2 en su ordenador. Es un sistema de álgebra de software para computación con anillos, ideales y módulos.

Por ejemplo, para calcular la descomposición primaria de su ideal, uno tendría que escribir los siguientes comandos:

R = QQ[x,y,z]
I = ideal (x*y, x-y*z)
primaryDecomposition I

{ideal (z, x), ideal (y*z - x, y^2 , x*y)}

Esta realidad no está de acuerdo con Jim Belk la respuesta anterior.