Valor absoluto máximo y mínimo de un número complejo

Question

Déjalo, $z \in \mathbb C$ y $|z|=2$ . ¿Cuál es el valor máximo y mínimo de $$ \left | z - \frac {1}{z} \right |? $$

Sólo tengo una vaga idea para atacar este problema. Aquí está mi pensamiento:

Deje que $z=a+bi$

Explotando el hecho de que, $a^2+b^2=4$

Tenemos $z- \dfrac {1}{z}=a- \dfrac {a}{4}+i \left (b+ \dfrac {b}{4} \right )$

Así que $$ \begin {split} \left |z- \frac {1}{z} \right | &= \sqrt { \left (a- \dfrac {a}{4} \right )^2+ \left (b+ \dfrac {b}{4} \right )^2} \\ &= \sqrt {4+ \dfrac {1}{4}- \dfrac {a^2}{2}+ \dfrac {b^2}{2}} \\ &= \sqrt {4+ \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{2}(b^2-a^2)} \end {split} $$

El valor mínimo se puede obtener si podemos minimizar $b^2-a^2$ . Configuración $b=0$ da el valor mínimo $ \sqrt {2+ \dfrac {1}{4}}= \dfrac {3}{2}$

Ahora, viene el valor máximo. Podemos escribir $$ \sqrt {4+ \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{2}(b^2-a^2)}$$ $$= \sqrt {4+ \dfrac {1}{4}+ \dfrac {1}{2}(4-2a^2)}$$ $$= \sqrt {4+ \dfrac {1}{4}+2-a^2}$$ $$= \sqrt {6+ \dfrac {1}{4}-a^2}$$

Configuración $a=0$ da el valor máximo $ \sqrt {6+ \dfrac {1}{4}}= \dfrac {5}{2}$ .

No sé si está bien poner $b=0$ desde $z$ se convertiría en un número real entonces.

Answer 1

Un camino (muy) rápido:

Sabemos que $z$ está en el círculo centrado en $0$ y el radio $2$ y $1/z$ está en el círculo del centro $0$ y el radio $1/2$ . La distancia máxima entre un punto de la primera y un punto de la segunda es $$2+ \frac12 = \frac52 $$ Ahora, necesitamos mostrar que existe algo $z$ de tal manera que se alcance esta distancia. Toma $z=2i$ .

¿Puedes ocuparte del mínimo ahora?

Answer 2

$$f(z)= \left |z- \frac {1}{z} \right |= \frac { \left |z^2-1 \right |}{2}$$ ya que sabemos $|z|=2$

Answer 3

Podrías intentarlo así (con la ayuda de la desigualdad de los triángulos):

$$|z-{1 \over z}|= |{z^2-1 \over z}| = {|z^2-1| \over 2} \geq {|z^2|-1 \over 2} ={3 \over 2}$$

Claramente esto puede lograrse en $z = 2$ y $$ {|z^2-1| \over 2} \leq {|z^2|+1 \over 2} = {5 \over 2}$$ que se puede lograr en $z=2i$ .

Answer 4

Tu idea es buena, pero te pierdes en algunos cálculos (aunque el máximo es correcto).

Considere el cuadrado del módulo: $$ f(z)= \left |z- \frac {1}{z} \right |^2= \frac {|z^2-1|^2}{|z|^2} $$ Desde $|z|=2$ por supuesto, también podemos considerar $$ g(z)=|z^2-1|^2=(z^2-1)( \bar {z}^2-1)=z^2 \bar {z}^2-z^2- \bar {z}^2+1=5-z^2- \bar {z}^2 $$ Si $z=a+bi$ Entonces $z^2=a^2-b^2+2abi$ y $ \bar {z}^2=a^2-b^2-2abi$ pero también sabes que $a^2+b^2=4$ así que $b^2=4-a^2$ . Luego $$ g(a+bi)=5-2a^2+2b^2=5-2a^2+20-2a^2=25-4a^2 $$ El máximo es para $a=0$ el mínimo para $a= \pm2 $ por lo tanto, el valor máximo de $g$ es $25$ y el valor mínimo es $9$ .

Sólo tenemos que dividirnos por $4$ y tomar la raíz cuadrada, así que el máximo para $f$ es $5/2$ y el mínimo es $3/2$ .

Answer 5

$ z - \frac {1}{z} = \frac {z^2-1}{z} $

Así que eso, tenemos $ \left | z - \frac {1}{z} \right | $ \= $ \frac {|z^2-1|}{2} $

Si ponemos $z=x+iy$ Entonces $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy $ y tenemos..:

$ \frac {|x^2-y^2-1 + i(2xy)|}{2} = \frac { \sqrt {(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2}}{2} $

Echemos un vistazo a la función: $ f(x,y) = (x^2-y^2-1)^2 + 4x^2y^2 $

Sabemos que $|z| = 2$ así que $x^2+y^2 = 4 $ y por eso $ y^2 = 4-x^2, x \in [-2,2] $

$(x^2 - 4 + x^2 - 1)^2 + 4x^2(4-x^2) = (2x^2-5)^2 + 16x^2 - 4x^4 = \\ = 4x^4 - 20x^2 + 25 + 16x^2 - 4x^4 = 25-4x^2 $

Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es mirar $25-4x^2, for \ x^2 \in [0,4] $ y decir cuál es el mínimo y el máximo.

Claramente si $x=0$ entonces tenemos $25$ y el valor máximo es $ \frac { \sqrt {25}}{2} = \frac {5}{2}$

si $x^2 = 4$ tenemos $9$ y el valor mínimo es $ \frac { \sqrt {9}}{2} = \frac {3}{2}$