Utilizando $\Delta$ para la diferencia simétrica del conjunto,
$A \Delta B$ son todos los elementos de exactamente uno de los conjuntos pero no todos de ellos.
$A \Delta B \Delta C $ son todos los elementos de exactamente uno de los conjuntos o todo de ellos.
Entiendo que hay un número par de conjuntos en el primer ejemplo y un número impar en el segundo (y la asociatividad implica que no hay ambigüedad de orden), pero ¿qué tiene de simétrico el conjunto de diferencia simétrica?
Una función en dos variables $f(x,y)$ se llama simétrica si $f(x,y)=f(y,x)$ .
Es fácil ver que $A\mathbin{\triangle}B=B\mathbin{\triangle}A$ exactamente porque estar en exactamente en uno de $A$ o $B$ es lo mismo que estar exactamente en uno de $B$ y $A$ .
Esto contrasta con la diferencia de conjunto, donde $A\setminus B$ generalmente no es lo mismo que $B\setminus A$ .
Tengo curiosidad: ¿hay alguna razón específica por la que se utiliza el lenguaje funcional (simétrico), en lugar del lenguaje de los operadores (conmutativo)?
Un operador sería de $X^2\to X$ mientras que una función puede ser de $X^2\to Y$ para algún otro $Y$ .
@AsafKaragila Eso no es realmente compatible con la vista de la función en lugar del operador para la nomenclatura, ya que podemos ver mejor esto como $\Delta\colon\mathcal P(U)^2\to \mathcal P(U)$ para algún universal $U$ . Comprendo $\Delta$ como simetrizado Sin embargo, es la unión sobre todas las diferencias de las permutaciones de los argumentos, $A\setminus B\cup B\setminus A$
El término "simetría" se utiliza en matemáticas para referirse a una operación que deja alguna propiedad sin modificar. Por ejemplo, si tomas un cuadrado y lo giras 90 grados, acabarás teniendo la misma forma. Por tanto, un cuadrado tiene simetría rotacional.
Generalizando a partir de la simetría geométrica de la sección anterior, decimos que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada, si, cuando se aplica al objeto, esta operación preserva alguna propiedad del objeto.
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry
En el lenguaje común, "simétrico" se utiliza a menudo para referirse a la simetría por reflexión, que es cuando se puede reflejar una forma alrededor de un eje y terminar con una forma que es congruente con la original; este es un caso especial del significado matemático más general de "simetría".
En el caso de las funciones, la "simetría" se refiere al caso en el que se pueden cambiar dos variables y terminar con una función que se evalúa a lo mismo. Por ejemplo, la fórmula de la distancia $\sqrt {x^2+y^2}$ es simétrica con respecto a $x$ y $y$ si se sustituye cada instancia de $x$ con $y$ y cada instancia de $y$ con $x$ , se obtiene $\sqrt {y^2+x^2}$ que es lo mismo. Un operador binario conmutativo es simétrico con respecto a sus operandos, pero "simetría" es un término más general, que se aplica a funciones de más de dos entradas y a funciones que no son operadores.
Así, el término "diferencia simétrica" implica que no importa el orden en que se den las entradas: la diferencia simétrica de $A$ y $B$ es igual a la diferencia simétrica de $B$ y $A$ y la diferencia simétrica de $(A,B, \text{and } C)$ es el mismo que para $(A,C, \text{and } B)$ , $(B,A, \text{and } C)$ , $(B,C, \text{and } A)$ , $(C,A, \text{and } B)$ o $(C,B, \text{and } A)$ .
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